Докажите, что нет решении в целых чисел

[rightways]

$x^2+1=34y^2$

[nnosipov]

rightways, а откуда эта задача?

[rightways]

из книги dioph.equations titu andrescu

[ex-math]

Просто перебрать $y$ от одного до шести. Стандартное уравнение Пелля.

[rightways]

квадратичными вычетами стараюсь. Нашел, что $x\equiv 3,5 mod 8$

[ex-math]

Почитайте про уравнение Пелля, например, у Гельфонда "Решение уравнений в целых числах". Там все совершенно элементарно. Если, конечно, Вас интересует общий метод, а не кустарные приемы.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1002415 писал(а):

из книги dioph.equations titu andrescu

А, понятно. Это уравнение интересно тем, что среди уравнений вида $x^2+1=Ay^2$ оно первое, которое неразрешимо, но эту неразрешимость нельзя установить методом остатков: сравнение $x^2+1 \equiv 34y^2 \pmod{m}$ разрешимо при любом $m$ (что, кстати, можно доказать совсем элементарно). Так что метод спуска (или что-то ещё более хитрое) здесь потребуется.

[Null]

Можно в лоб подходящие дроби до первого $x^2-1=34y^2$ проверить.

[nnosipov]

Просто период цепной дроби для $\sqrt{34}$ равен $4$, т.е. чётен, поэтому и нет решений. Всё это, конечно, хорошо известные факты теории уравнений Пелля.