Классификация одомерных многообразий

[Dmitry Tkachenko]

Стало интересно разобрать теорему о классификации одномерных многообразий. Нашел доказательство в книге Рохлина, но оно мне не понравилось. Решил написать доказательство заново со своей идеей. Не получается кое-что показать.

Сейчас многообразие --- это хаусдорфово локально-евклидово топологическое пространство со счетной базой. По умолчанию считаем, что наше 1-могообразие без края.

Попытка доказательства:
1) Пусть $X$ --- связное топологическое многообразие. В качестве базы для топологии я беру открытые подмножества гомеоморфные $(0,1).$ Пусть $\mathcal{U}=\{U_{\alpha}\}$ --- открытое покрытие и $U__{\alpha} \cong (0,1).$

2) Если $X$ компактно, то $\mathcal{U}$ конечно. Если $X$ не компактно, то $\mathcal{U}$ не более чем счетно.

3) $\mathcal{U}$ --- "хорошее", если $\forall U_{\alpha}: \quad V_{\alpha}=\bigcup_{\beta \ne \alpha} U_{\beta} \ne X.$
Cтроить "хорошее" $\mathcal{U}$ я умею и процедуру приводить не буду.

4) Считаем $\mathcal{U}$ "хорошим". Если $X$ компактно, то $\mathcal{U}$ конечно и $\alpha \geqslant 2,$ так как $(0,1)$ не компакт. Пусть $\varphi_{\alpha}\colon (0,1) \to U_{\alpha}$ гомеоморфизм.
Я хочу показать, что если $(x_n)\in(0,1)$ --- последовательность и $x_n\to 0, n \to \infty,$ то $\Big(\varphi_{\alpha}(x_n) \Big)$ имеет единственную предельную точку $p_{\alpha}=\lim_{n\to \infty}\varphi_{\alpha}(x_n) \in dU_{\alpha}.$

Дальше еще много пунктов, но уже сейчас возник вопрос: Как показать, что $\Big(\varphi_{\alpha}(x_n) \Big)$ имеет предел?
Есть идея: показать, что в базу можно добавить условие, что замыкание каждого из открытых подмножеств гомеоморфно $[0,1].$ И рассмотреть продолжение гомеоморфизма. Не ясно как доказывать, что такое условие не ограничивает общности.

В этом же пункте аналогично показываю, что если $(x_n)\in(0,1)$ --- последовательность и $x_n\to 1, n \to \infty,$ то $\Big(\varphi_{\alpha}(x_n) \Big)$ имеет единственную предельную точку $h_{\alpha}=\lim_{n\to \infty}\varphi_{\alpha}(x_n) \in dU_{\alpha}.$

Тут возникает вопрос: Почему нет других точек, которые принадлежат границе $U_{\alpha}$ ?

Помогите разобраться с этими вопросами. Дальше есть идея как доказывать, но там тоже есть моменты, которые не получается нормально записать.