определение тензора

[type2b]

Если в координатном виде, то линейный оператор $A:~V\rightarrow V$ представляется матрицей $A^i_j$. Элементы $V$ имеют один верхний индекс, элементы $V^*$ один нижний индекс, так что $A$ можно рассматривать как элемент $V\otimes V^*$. Или же как форму на $V^*\otimes V\simeq V\otimes V^*$, т.к. индексы $A$ можно сворачивать с индексами элементов $V^*\otimes V$ и получать числа.

В бескоординатном виде вам уже писали выше. По линейному оператору $A:~V\rightarrow V$ можно построить форму на $V^*\otimes V$ так: если $u=\sum_i x_i\otimes y_i$ -- какой-то элемент $V^*\otimes V$, где $x_i\in V^*$ и $y_i\in V$, то $A(u) = \sum_i x_i(Ay_i)$, где $Ay$ есть действие линейного оператора $A$ на $y\in V$, а $x(y)$ есть естественное спаривание элементов $V^*$ и $V$. И наоборот, по такой форме можно построить линейный оператор.

Это, в общем, абсолютно тривиально, и не заслуживает и этих пяти строчек.

[alcoholist]

arseniiv в сообщении #1001863 писал(а):

Это вообще даже не функция

Это функция! Из множества $\{\mbox{все базисы пространства}\,\,V\}\times\{1,\cdots,\operatorname{dim} V\}\to \{\mbox{основное поле}\}$

[Munin]

alcoholist
Это из принципа "вообще всё - функция"? :-) (например, любой объект есть константная функция)

[svv]

Такой подход должен понравиться arseniiv, с его интересом к функциональным языкам программирования.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1003002 писал(а):

Это из принципа "вообще всё - функция"?

Вот посмотрите на определение касательного пространства в Рохлине-Фуксе))

[illuminates]

type2b
Спасибо!

А не подскажите в Ваших определениях обязательно использовать тензорное произведение? Или как-то можно обходится прямым произведением (=прямой суммой)? Ведь полилинейные формы задают именно с помощью этой операции.

Вообщем мне не понятно - где достаточно прямого произведения, а где возникает необходимость в тензорном.

[Munin]

А вас не смущает, что там ещё и стрелочка используется?

В общем, надо не поверхностно пытаться отсортировать, "где достаточно прямого произведения, а где возникает необходимость в тензорном", а надо пытаться понять смысл определений.

[illuminates]

Munin
С определениями линейной алгебры я знаком (и со стрелочками вчастности). Но знаком на уровне без тензорного произведения пространств.

[Munin]

Ну так вы с определением тензора-то знакомы? На уровне без тензорного произведения пространств.

Если да - то сами сопоставьте одно и другое определение. Если нет - то вы с определениями линейной алгебры не знакомы.

[мат-ламер]

illuminates в сообщении #1004195 писал(а):

С определениями линейной алгебры я знаком (и со стрелочками вчастности). Но знаком на уровне без тензорного произведения пространств.

Советую сначала осмыслить произведение тензоров. Тогда станет понятнее определение тензорного произведения пространств. Иначе не понять, откуда оно проистекает.

[Munin]

Сначала сами тензоры, потом произведение тензоров, потом пространства...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1003002 писал(а):

(например, любой объект есть константная функция)

Этого я и боялся!

svv в сообщении #1003006 писал(а):

Такой подход должен понравиться arseniiv, с его интересом к функциональным языкам программирования.

Да что уж тут, я его уже давно знаю.