2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти число корней уравнения (исправить ошибку)
Сообщение08.04.2015, 19:16 


27/04/10
20
Найти число корней уравнения: $3 \sin(8x)=x^3$

Для удобства я рассматривал $~ \sin(8x)=\frac{x^3}3$
Т.к. $|\sin(8x)| \leqslant 1 $ То корни уравнения будут лежать в промежутке $[-3;3]$
$\sin(8x)$ имеет период, равный $\frac{\pi}4$. На промежутке $[-3;3]$ таких периодов будет $\frac{24}\pi \approx 7.64$

Далее проблема - не могу правильно посчитать корни. Подскажите пожалуйста верный ход рассуждений.

Для положительных $x$ за один период графики функций пересекаются 1 раза в первой половине периода. Получается 4 корня.
Для отрицательных $x$ будет на один корень меньше (т.к. пересечение в первой периода). В таком случае $4-1=3$ корня.
Плюс корень $x=0$. Итого $4+3+1 = 8$ корней. А на самом деле корней 7. В чем ошибка?

Не особо понимаю каким образом решать подобные задачи. Для линейной функции число корней всегда одно и тоже на периоде. А для степенной? Более того не особо понимаю, стоит ли рассматривать 2 интервала отдельно или один, а потом умножать на два. Тогда вообще получается чуть ли не 14 корней.

Из всех материалов на подобные задачи нашел только http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=109152.

Соответственно буду крайне признателен за литературу, где можно найти примеры решений задач подобного вида либо за правильный ход решения в определении числа корней (для различных функций).

Спасибо.

з.ы. за верстку не пинать, все сделано в сильной спешке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти число корней уравнения (исправить ошибку)
Сообщение08.04.2015, 19:26 


07/04/15
230
Я бы наверное начал с того, что сделал замену, чтобы получить $\sin(t)$ -- проще рисовать-считать. (Хотя кому как)
Еще можно заметить, что обе функции нечетные, тогда если $x$ корень, то $-x$ тоже корень. Отсюда кстати, следует, что раз $0$ корень, то всего корней будет нечетное количество.

Дальше нужно считать значения правой части в пиках синуса. Если больше, значит все, больше пересекать не будет. Если меньше, то нужно считать в следующем пике и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти число корней уравнения (исправить ошибку)
Сообщение08.04.2015, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7231
Обе функции нечетные и симметричны относительно центра координат. Как у Вас получается, что справа больше пересечений, чем слева?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти число корней уравнения (исправить ошибку)
Сообщение08.04.2015, 19:31 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
tomsoier в сообщении #1001708 писал(а):
Т.к. $|\sin(8x)| \leqslant 1 $ То корни уравнения будут лежать в промежутке $[-3;3]$

Ой ли? Мне кажется, что $x^3$ по модулю не превосходит единицу в меньшем интервале.
tomsoier в сообщении #1001708 писал(а):
Итого $4+3+1 = 8$ корней. А на самом деле корней 7. В чем ошибка?

Синус - функция нечётная, $x^3$ - тоже, то есть точки их пересечения симметричны относительно начала координат. То есть справа и слева от нуля точек пересечения поровну, плюс точка $(0,0)$, итого - число точек пересечения как минимум нечётно.
Да и вообще ваши рассуждения про период какие-то уж очень неубедительные. Если вас интересует график - посмотрите:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 1.5+to+1.5
Может, из него как-то найдёте верный путь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти число корней уравнения (исправить ошибку)
Сообщение08.04.2015, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7231
NSKuber в сообщении #1001720 писал(а):
Ой ли? Мне кажется, что $x^3$ по модулю не превосходит единицу в меньшем интервале.

tomsoier в сообщении #1001708 писал(а):
Для удобства я рассматривал $~ \sin(8x)=\frac{x^3}3$


На самом деле, конечно $x$ надо рассматривать в интервале $\pm$ корень кубический из $3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти число корней уравнения (исправить ошибку)
Сообщение09.04.2015, 18:05 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Dan B-Yallay
Ой, спасибо, я опечатался. Думал одно, а написал в итоге всё равно $x^3$ :oops:
В том сообщении, конечно же, имелась в виду функция $\frac{x^3}{3}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group