Найти число корней уравнения (исправить ошибку)

[tomsoier]

Найти число корней уравнения: $3 \sin(8x)=x^3$

Для удобства я рассматривал $~ \sin(8x)=\frac{x^3}3$
Т.к. $|\sin(8x)| \leqslant 1 $ То корни уравнения будут лежать в промежутке $[-3;3]$
$\sin(8x)$ имеет период, равный $\frac{\pi}4$. На промежутке $[-3;3]$ таких периодов будет $\frac{24}\pi \approx 7.64$

Далее проблема - не могу правильно посчитать корни. Подскажите пожалуйста верный ход рассуждений.

Для положительных $x$ за один период графики функций пересекаются 1 раза в первой половине периода. Получается 4 корня.
Для отрицательных $x$ будет на один корень меньше (т.к. пересечение в первой периода). В таком случае $4-1=3$ корня.
Плюс корень $x=0$. Итого $4+3+1 = 8$ корней. А на самом деле корней 7. В чем ошибка?

Не особо понимаю каким образом решать подобные задачи. Для линейной функции число корней всегда одно и тоже на периоде. А для степенной? Более того не особо понимаю, стоит ли рассматривать 2 интервала отдельно или один, а потом умножать на два. Тогда вообще получается чуть ли не 14 корней.

Из всех материалов на подобные задачи нашел только http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=109152.

Соответственно буду крайне признателен за литературу, где можно найти примеры решений задач подобного вида либо за правильный ход решения в определении числа корней (для различных функций).

Спасибо.

з.ы. за верстку не пинать, все сделано в сильной спешке.

[2old]

Я бы наверное начал с того, что сделал замену, чтобы получить $\sin(t)$ -- проще рисовать-считать. (Хотя кому как)
Еще можно заметить, что обе функции нечетные, тогда если $x$ корень, то $-x$ тоже корень. Отсюда кстати, следует, что раз $0$ корень, то всего корней будет нечетное количество.

Дальше нужно считать значения правой части в пиках синуса. Если больше, значит все, больше пересекать не будет. Если меньше, то нужно считать в следующем пике и т.д.

[Dan B-Yallay]

Обе функции нечетные и симметричны относительно центра координат. Как у Вас получается, что справа больше пересечений, чем слева?

[NSKuber]

tomsoier в сообщении #1001708 писал(а):

Т.к. $|\sin(8x)| \leqslant 1 $ То корни уравнения будут лежать в промежутке $[-3;3]$

Ой ли? Мне кажется, что $x^3$ по модулю не превосходит единицу в меньшем интервале.

tomsoier в сообщении #1001708 писал(а):

Итого $4+3+1 = 8$ корней. А на самом деле корней 7. В чем ошибка?

Синус - функция нечётная, $x^3$ - тоже, то есть точки их пересечения симметричны относительно начала координат. То есть справа и слева от нуля точек пересечения поровну, плюс точка $(0,0)$, итого - число точек пересечения как минимум нечётно.
Да и вообще ваши рассуждения про период какие-то уж очень неубедительные. Если вас интересует график - посмотрите:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 1.5+to+1.5
Может, из него как-то найдёте верный путь.

[Dan B-Yallay]

NSKuber в сообщении #1001720 писал(а):

Ой ли? Мне кажется, что $x^3$ по модулю не превосходит единицу в меньшем интервале.

tomsoier в сообщении #1001708 писал(а):

Для удобства я рассматривал $~ \sin(8x)=\frac{x^3}3$

На самом деле, конечно $x$ надо рассматривать в интервале $\pm$ корень кубический из $3$.

[NSKuber]

Dan B-Yallay
Ой, спасибо, я опечатался. Думал одно, а написал в итоге всё равно $x^3$
В том сообщении, конечно же, имелась в виду функция $\frac{x^3}{3}$