сколько раз в сутки будут коллинеарны все 3 стрелки часов

[Sasha_Gu]

Добрый день, уважаемые форумчане! Помогите, пожалуйста, разобраться. Необходимо подсчитать, сколько раз в сутки будут коллинеарны все 3 стрелки - минутная, секундная, часовая аналоговых часов. Мои рассуждения следующие - совпадать стрелки будут только 2 раза в сутки в 12.00 и в 00.00. А еще остается вариант (два варианта), когда часовая будет указывать на 18.00/06.00, а минутная с секундной на 12.00/00.00. Итого - стрелки будут коллинеарны 4 раза в сутки. Верен ли мой ответ?

[svv]

Sasha_Gu в сообщении #1001219 писал(а):

Мои рассуждения следующие - совпадать стрелки будут только 2 раза в сутки в 12.00 и в 00.00.

Простите, но ведь это не рассуждения, а вывод. А рассуждения в собственном смысле слова были? Если нет, тогда понятно и Ваше чувство неуверенности в выводе.

[Sasha_Gu]

svv в сообщении #1001221 писал(а):

Sasha_Gu в сообщении #1001219 писал(а):

Мои рассуждения следующие - совпадать стрелки будут только 2 раза в сутки в 12.00 и в 00.00.

Простите, но ведь это не рассуждения, а вывод. А рассуждения в собственном смысле слова были? Если нет, тогда понятно и Ваше чувство неуверенности в выводе.

Вы правы) Я не знаю как мне рассуждать в данном случае. Я могу решить эту задачу для 2х любых стрелок, ну например, часовой и минутной. Рассуждаю я так: за сутки часовая стрелка делает 2 оборота, минутная - 24, таким образом если мы попробуем посчитать сколько раз минутная "обгоняет" часовую - 22 раза в сутки, за каждый час они становятся 2 раза коллинеарны (один раз совпадают и один раз противополодно направленны), следовательно коллинеарны они 44 раза в сутки.

-- 07.04.2015, 14:50 --

а на счет 12.00 и 00.00 - это предположение родилось при наблюдении за часами при учете, что ход у них плавный, а не "дискретный". 18.00 и 6.00 - еще одна, вроде логичная идея, смущает наличие/отсудствие промежуточных вариантов

[svv]

Sasha_Gu в сообщении #1001227 писал(а):

следовательно коллинеарны они 44 раза в сутки

Эти моменты коллинеарности происходят через равные промежутки времени? Значит, Вы знаете их точно. И тогда Вы знаете, где какая стрелка в этот момент находится, в т.ч. секундная. И можно проверить её коллинеарность с двумя «старшими» стрелками.

-- Вт апр 07, 2015 16:37:40 --

Если хотите, подскажу удобную систему обозначений.

[Sasha_Gu]

svv в сообщении #1001237 писал(а):

Sasha_Gu в сообщении #1001227 писал(а):

следовательно коллинеарны они 44 раза в сутки

Эти моменты коллинеарности происходят через равные промежутки времени? Значит, Вы знаете их точно. И тогда Вы знаете, где какая стрелка в этот момент находится, в т.ч. секундная. И можно проверить её коллинеарность с двумя «старшими» стрелками.

-- Вт апр 07, 2015 16:37:40 --

Если хотите, подскажу удобную систему обозначений.

Хочу) Заранее моя благодарность! Да, по идее я знаю, где находится секундная стрелка, мой вариант из 1ого сообщения тогда правильный)

[svv]

Прежде всего, через каждые 12 часов положение всех стрелок повторяется, поэтому рассматриваем половину суток: от 0 часов до 12 часов, причем момент 0 входит, а момент 12 часов уже не входит в рассматриваемый промежуток.

Положение каждой стрелки определяется количеством оборотов, которое она сделала за время, прошедшее от 0 часов. За это время стрелка может сделать много оборотов, и в записи это учитывается. Понятно, что оборотов может быть нецелое количество, чаще всего так и будет.

Обозначаем:
$a$ — количество оборотов, которое сделала часовая стрелка от момента 0.
$b$ — количество оборотов, которое сделала минутная стрелка от момента 0.
$c$ — количество оборотов, которое сделала секундная стрелка от момента 0.
Имеем простую связь:
$b=12 a$

$c=60 b= 720 a$

Например, в 4 часа 30 минут имеем:
$a=\frac{4.5}{12}=\frac{3}{8}$ — положение часовой стрелки (между цифрами 4 и 5).
$b=4.5$ — минутная стрелка сделала 4 полных оборота и ещё половину.
$c=270$ — секундная стрелка сделала 270 полных оборотов, стало быть, смотрит вверх.

Критерий того, что две стрелки сонаправленны (встретились): дробные части их оборотов равны.
Критерий того, что две стрелки коллинеарны: дробные части их оборотов равны или отличаются на $1/2$.

Первый раз после 0, когда часовая и минутная стрелки опять встретились:
$a=\frac 1{11}, \quad b=12a=\frac{12}{11}=a+1$
Вообще моменты, когда они встречаются:
$a=\frac n{11}$
Коллинеарны же они в два раза чаще.

Система обозначений понятна?

-- Вт апр 07, 2015 17:26:39 --

P.S. Зная положение минутной стрелки на циферблате, мы можем сказать, чему равна дробная часть $b$, но не целая (для этого нужно ещё знать положение часовой стрелки). То есть из $b$ легко получается положение стрелки на циферблате, но не наоборот.

[Munin]

Для обсуждения коллинеарности, можно $a,b,c$ увеличить в два раза (тогда они будут указывать число оборотов на проективной прямой). Соотношения между ними останутся прежними.

[Sasha_Gu]

Спасибо большое! Да, все обозначения понятны.