Вступительные задачи в СПбГУ (неравенство, прогрессия)

[K6Dn7]

У меня никак не получается решить задачу с вступительного экзамена в СПбГУ за 2006 год, экономический факультет.

$2\sqrt{x+1} \leqslant x+1 - \frac{3}{x}$

Помогите, пожалуйста

[Taras]

Cразу предупреждаю, решение у меня техническое, но ясное, реализуется за 5-8 минут.
1) Постройте график левой и правой части(учтите монотонность и асимптотику правой части ). Как маленькое вознаграждени вы сразу получите часть ответа $[-1,0)$
2)сразу увидите( и докажите!), что при &x>0& cуществует одна точка пересечения графиков
(впрочем дальше в решение вы это и на "халяву" получите)

3) Как найти же эту точку.
Приводите уравнение к виду $(\sqrt{(x+1)}-1)^2>= \frac 3 x +1 $
4) Делаем несложную замену \sqrt{x+1}-1=t, t>0,откуда x=(t+1)^2-1
5) Приводите к общему знаменателю, получаете дробно-рациональное нерваенство.
6) У вас должно в числителе выйти так $ (t^2+t)^2-2(t^2+t)-3$,а дальше знаменатель-положителен, отсюда и числитель должен быть положительным.
7) Делаете еще одну замену $m=t^2+t$
8) Дальше, думаю, ясно , не забудьте вернутся к старым переменным.Успехов.

[Руст]

Оно же не верное. Возьмите х=1, получите 2\sqrt 2 \le -1$.

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Оно же не верное. Возьмите х=1, получите 2\sqrt 2 \le -1$

Несколько странно утверждать про неравенство, которое требуется решить, то есть определить все те значения переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство, что оно неверное, если оно не выполняется в некоторой точке

[venja]

K6Dn7 писал(а):

У меня никак не получается решить задачу с вступительного экзамена в СПбГУ за 2006 год, экономический факультет.

2\sqrt{x+1} \leqslant x+1 - \frac{3}{x}

Помогите, пожалуйста

Замена : $ t=\sqrt{x+1}$.
Тогда $t\ge 0,\;\; x=t^2-1 $ .
Неравенство приводится к виду:
$ \frac{t^4-2t^3-t^2+2t-3}{t^2-1}\ge 0$
Требуется числитель разложить на множители. К сожалению, рациональных корней числитель не имеет. Раскладываем его на множители методом неопределенных коэффициентов:
$ t^4-2t^3-t^2+2t-3=(t^2+at+b)(t^2+ct+d)$
Раскрывая справа скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему, из которой легко угадываются значения неопределенных коэффициентов.
В результате получаем неравенство
$ \frac{(t^2-t+1)(t^2-t-3)}{t^2-1}\ge 0$
Первая скобка в числителе всегда неотрицательна, поэтому неравенство равносильно
$ \frac{t^2-t-3}{t^2-1}\ge 0$
c учетом
$t\ge 0 $ .

Дальше просто.

Добавлено спустя 9 минут 54 секунды:

Brukvalub писал(а):

Руст писал(а):

Оно же не верное. Возьмите х=1, получите 2\sqrt 2 \le -1$

Несколько странно утверждать про неравенство, которое требуется решить, то есть определить все те значения переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство, что оно неверное, если оно не выполняется в некоторой точке

Думаю, что Руст просто пошутил. Но с намеком. Надо полностью писать условие задачи. В условии про это неравенство ничего не сказано. Быть может, требовалось доказать, что оно выполняется для всех действительных чисел?
Тогда Руст прав, приведя "контрпример".

[K6Dn7]

venja писал(а):

Думаю, что Руст просто пошутил. Но с намеком. Надо полностью писать условие задачи.

Хорошо, согласен. Вот ещё одна задача, с которой я не могу справиться. СПбГУ, биолого-почвенный факультет 2006 год.

При каких значених x числа 2-4x, 3-3х и 7-6х являются членами некоторой арифметической прогрессии, разность которой больше 3, и при этом 3-3х и 7-6х являются третьим и двадцать третьим её членами соответственно?

[Henrylee]

В чем именно сложность возникает? Составить систему, решить ее или интерпретировать результат?

[K6Dn7]

Henrylee писал(а):

В чем именно сложность возникает? Составить систему, решить ее или интерпретировать результат?

Систему не составить. Например, что делать с 2-4x? Не факт же, что это первый или второй член прогрессии.

[Henrylee]

K6Dn7 писал(а):

Henrylee писал(а):

В чем именно сложность возникает? Составить систему, решить ее или интерпретировать результат?

Систему не составить. Например, что делать с 2-4x? Не факт же, что это первый или второй член прогрессии.

Нет проблем. Обозначь номер этого члена прогрессии за n и запиши условие. Не страшно, если приходится вводить новые ненужные (на первый взгляд ) переменные. Избавишься после. А возможно они и помогут

[K6Dn7]

Henrylee писал(а):

K6Dn7 писал(а):

Henrylee писал(а):

В чем именно сложность возникает? Составить систему, решить ее или интерпретировать результат?

Систему не составить. Например, что делать с 2-4x? Не факт же, что это первый или второй член прогрессии.

Нет проблем. Обозначь номер этого члена прогрессии за n и запиши условие. Не страшно, если приходится вводить новые ненужные (на первый взгляд ) переменные. Избавишься после. А возможно они и помогут

Ну так я пробывал. Не получается! Я не могу получить из системы, что n - фиксированное число.

[незваный гость]

K6Dn7 писал(а):

Я не могу получить из системы, что n - фиксированное число.

А разве это нужно? Вроде достаточно, чтобы оно было натуральным.

[Henrylee]

K6Dn7 писал(а):

Ну так я пробывал. Не получается! Я не могу получить из системы, что n - фиксированное число.

Систему напиши сюда, которую составил. И преобразования, которые делал. И покажи как именно у тебя не получается. В каком месте.
PS Задача простая. Могу сразу ответ написать, но не буду

[bot]

Первая в таком виде, имхо, крутовата для экономистов. На мой взгляд хватило бы и такой:

2\sqrt{x+1} \leqslant x+1 - \frac{3}{x+1}

После напрашивающейся замены и домножения (а чего стесняться - на положительное домножаем) получается неравенство 4-й степени. Один корень виден сразу, а другой после первого не вычислить уже просто нельзя. Поскольку тут всё замечательно срастается, то полагаю, что в условии просто очепятка. Однако в таком случае на месте автора я бы вместо $\leqslant$ взял $\geqslant$.

По прогрессии воздержусь от подсказок - уж вроде всё, что надо, сказали.

[K6Dn7]

Пишем систему :
1. \ 2-4x=a_1+d(n-1)
2. \ 3-3x=a_1+2d
3. \ 7-6x=a_1+22d
4. \ d>3
Решаем систему, получаем, что
1. \ $ d = \frac {4-3x} {20}$
2. \ a_1= \frac {-27x+26} {10}
Из первого уравнения системы найдём, что $x= \frac{4(n-1)+12} {3(n-1)-26}
Так как d>3, то x< $ \frac {-56} {3}$, поэтому
n может равняться или 1, или 2, или 3, или 4. Очевидно, что 1 и 2 не подходят. Три тоже. Остаётся 4. Но тогда $ x= \frac {-24} {17}$
Но последний результат тоже нам не подходит. Всё, задача не имеет решения.

В первой задаче никакой опечатки нет. Вот, смотрите: http://www.mathnet.spb.ru/univ/spbgu/2006.htm

[Brukvalub]

K6Dn7 писал(а):

n может равняться или 1, или 2, или 3, или 4.

Вот тут и ошибочка вышла, n=9. Ведь что обидно - так хорошо решали, а по-человечески решить последнее неравенство поленились! А если так вляпаться на экзамене - будет обидно до слёз!