Приближенное равенство

[kis]

Цитата:

Найти векторный потенциал треугольной рамки с током на больших расстояниях от рамки

Ниже я приведу отрывок авторского решения сжато, в конце поста картинка

Цитата:

Пусть
$r'$ - вектор, проведенный из точки $Q$, в которой находится элемент тока $Idl$, в точку $P$, в которой вычисляется потенциал
$\rho$ - вектор, проведенный из некоторой точки $O$, находящейся вблизи элемента $dl$ в точку $Q$
$r$ - вектор, проведенный из $O$ в $P$
Тогда
$\overset{\rightharpoonup }{r}=\overset{\rightharpoonup }{\rho }+\overset{\rightharpoonup }{r'}\ (1)$
Откуда
$r'^2=r^2-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2\ (2)$
И учтя малость $\rho \ (\rho \ll r)$
$1/r'=1/r + (\overset{\rightharpoonup }{\rho}\overset{\rightharpoonup }{r})/r^3\ (3)$

Собственно, как получилось выражение (3)?
У меня только два соображения, как воспользоваться малостью $\rho$:

Выкинуть последний член из второго выражения
$r'^2=r^2-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2\ \approx r^2-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r}$

Либо поступить так
$r'^2=r^2-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2$

$(r'-r)(r'+r)=-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2$

$r'-r=\frac{-2 \overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r} + \rho ^2}{r'+r}\ \mid_{r'\rightarrow r}^{\rho^2 \rightarrow 0}\approx -\overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r}/r$

$r'-r = \frac{ -\overset{\rightharpoonup }{\rho } \overset{\rightharpoonup }{r}}{r}$

[Munin]

Во-первых, зачем писать такой ужас: \overset{\rightharpoonup}{r}
Есть же красивые способы записать "вектор": \vec{r} и \mathbf{r}

Дальше, как стандартно это делается.
У вас есть выражение $r'^2=r^2-2\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}+\rho^2.$ Вам надо найти (для дальнейшего), чему будет равно $\dfrac{1}{r'}\approx?$

Сначала пишется точное выражение:

$$\dfrac{1}{r'}=\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}+\rho^2}}.$$

А потом используется эквивалентность бесконечно малых: $(1+\alpha)^n\approx 1+\alpha n.$ И тогда для $n=-1/2$ и для малой величины $\rho/r\ll 1$ сразу выписывается то, что нужно:

$$\dfrac{1}{r'}\approx\dfrac{1}{r}\Bigl(1+\dfrac{\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}}{r^2}-\dfrac{\rho^2}{2r^2}\Bigr)=\dfrac{1}{r}\Bigl(1+\dfrac{\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}}{r^2}+o\,(\tfrac{\rho}{r})\Bigr)\approx\dfrac{1}{r}\Bigl(1+\dfrac{\boldsymbol{\rho}\cdot\mathbf{r}}{r^2}\Bigr).$$

В длинных выкладках такие приближения могут делаться несколько раз, чтобы не таскать за собой длинные выражения до самого конца (а иногда без приближений и нельзя решить уравнения, например, трансцендентные). Но тут надо соблюдать осторожность: иногда приближённое выражение дальше в выкладках используется таким образом, что его надо было бы знать поточнее, например, не с точностью до членов $O(\tfrac{\rho}{r}),$ а с точностью до членов $O\bigl(\tfrac{\rho^2}{r^2}\bigr).$ Тогда надо вернуться и сделать предыдущие приближения более точными, удержать больше членов.

[kis]

Цитата:

Во-первых, зачем писать такой ужас: \overset{\rightharpoonup}{r}
Есть же красивые способы записать "вектор": \vec{r} и \mathbf{r}

Это пробовал набирать формулы в матпакете
Я все понял, спасибо вам большое.