Стационарные стохастические процессы

[Diom]

Неоднократно встречал оговорки о тех или иных свойствах корреляционной функции для стационарного (в узком смысле) случайном процессе. В связи с чем возникло сомнение, а разве для стационарного (в узком смысле) случайного процесса каждая из случайных величин

\[\varepsilon (t_1 )...\varepsilon (t_n )\]

, не является независимой друг от друга – ведь если бы они были зависимые тогда от реализации в момент t1 зависело бы распределение в момент t2 то есть не было бы стационарности (в узком смысле) . А если они не зависимы так и корреляционная функция всюду равна 0 кроме нулевого сдвига. Я прав или в чем то заблуждаюсь?

[Diom]

Возможно я не совсем ясно описал ситуацию, вот более точно: Предположим имеется некоторый случайный стационарный (в узком смысле) сигнал

\[\varepsilon (t)\]

. По определению стационарного сигнала независимо от

\[n\]

распределение случайной величины

\[\varepsilon (t_n )\]

остается неименным, то есть в любой момент времени все вероятностные характеристики сигнала остаются неизменными. В связи с чем возникает вопрос являются ли случайные величины

\[\varepsilon (t_i )\]

и

\[\varepsilon (t_j )\]

независимыми при

\[ i \ne j \]

[Diom]

Господа, ну может хоть литературу хорошую подскажете? А то уже давно не могу толком найти ответ на этот вопрос.

[Горьковчанин]

Diom писал(а):

Предположим имеется некоторый случайный стационарный (в узком смысле) сигнал

\[\varepsilon (t)\]

. По определению стационарного сигнала независимо от

\[n\]

распределение случайной величины

\[\varepsilon (t_n )\]

остается неименным, то есть в любой момент времени все вероятностные характеристики сигнала остаются неизменными. В связи с чем возникает вопрос являются ли случайные величины

\[\varepsilon (t_i )\]

и

\[\varepsilon (t_j )\]

независимыми при

\[ i \ne j \]

Не только распределение

\[\varepsilon (t)\]

одно и то же для всех $t$, но для любого целого $k$ и любых $t_1<t_2<\ldots<t_k$, $s$ векторы $(\varepsilon (t_1), \varepsilon (t_2),\ldots, \varepsilon (t_k))$, $(\varepsilon (t_1+s), \varepsilon (t_2+s),\ldots, \varepsilon (t_k+s))$ одинаково распределены. Однако независимость нигде не оговаривается! В Вашем определении, учитывающем только одномерные распределения, не обязаны автоковариации процесса быть стационарнами.

Посмотреть можно много где: книжки А.Д.Вентцеля, А.Н.Ширяева, Б.В. Гнеденко, статьи Колмогорова

[Diom]

Горьковчанин писал(а):

Diom писал(а):

Предположим имеется некоторый случайный стационарный (в узком смысле) сигнал

\[\varepsilon (t)\]

. По определению стационарного сигнала независимо от

\[n\]

распределение случайной величины

\[\varepsilon (t_n )\]

остается неименным, то есть в любой момент времени все вероятностные характеристики сигнала остаются неизменными. В связи с чем возникает вопрос являются ли случайные величины

\[\varepsilon (t_i )\]

и

\[\varepsilon (t_j )\]

независимыми при

\[ i \ne j \]

Не только распределение

\[\varepsilon (t)\]

одно и то же для всех $t$, но для любого целого $k$ и любых $t_1<t_2<\ldots<t_k$, $s$ векторы $(\varepsilon (t_1), \varepsilon (t_2),\ldots, \varepsilon (t_k))$, $(\varepsilon (t_1+s), \varepsilon (t_2+s),\ldots, \varepsilon (t_k+s))$ одинаково распределены. Однако независимость нигде не оговаривается! В Вашем определении, учитывающем только одномерные распределения, не обязаны автоковариации процесса быть стационарнами.

Посмотреть можно много где: книжки А.Д.Вентцеля, А.Н.Ширяева, Б.В. Гнеденко, статьи Колмогорова

Независимость конечно не оговаривается, но разве она не является прямым следствием стационарности распределения? Ведь зависимость это влияние одной случайной величины на распределение другой, а раз распределение стационарно, то и влияния никакого нет.
Вентцеля и Гнеденко смотрел, но ответа на этот вопрос не нашел.

[Горьковчанин]

Цитата:

Независимость конечно не оговаривается, но разве она не является прямым следствием стационарности распределения?

Нет, не является. Пусть $y$ --- невырожденная случайная величина, тогда случайный процесс $x_t=y$,\ $t=0$, $1$, \ldots будет стационарным, но его значения в разные "моменты времени" будут зависимыми.

Цитата:

Ведь зависимость это влияние одной случайной величины на распределение другой, а раз распределение стационарно, то и влияния никакого нет.

Независимость в теории вероятностей - свойство вероятностной меры, а не величин или событий, и не определяется "на глазок". Стационарность означает, грубо говоря, отсутствие влияния начала отсчета времени, а не отсутствие влияния одних величин на распределение других.

[Diom]

Горьковчанин писал(а):

Цитата:

Независимость конечно не оговаривается, но разве она не является прямым следствием стационарности распределения?

Нет, не является. Пусть $y$ --- невырожденная случайная величина, тогда случайный процесс $x_t=y$,\ $t=0$, $1$, \ldots будет стационарным, но его значения в разные "моменты времени" будут зависимыми.

В результате чего будет иметься такая зависимость? Или вы подразумеваете что все значения случайной величины независимо от t будут одинаковыми?

[Горьковчанин]

Diom писал(а):

Горьковчанин писал(а):

Пусть $y$ --- невырожденная случайная величина, тогда случайный процесс $x_t=y$,\ $t=0$, $1$, \ldots будет стационарным, но его значения в разные "моменты времени" будут зависимыми.

В результате чего будет иметься такая зависимость? Или вы подразумеваете что все значения случайной величины независимо от t будут одинаковыми?

Пусть $A$, $B$ суть два непересекающихся множества действительных чисел, тогда $P(x_{t}\in A, x_s\in B)=P(y\in A\cap B)=0$, $P(x_t\in A)P(x_s\in B)=P(y\in A) P(y\in B)$, и легко может быть, что $P(y\in A) P(y\in B)\neq 0$. Таким образом, величины $x_t$, $x_s$ зависимы по определению. Стохастическая зависимость и причинно-связанная зависимость - не одно и то же. Похоже, вы здесь немножко смешиваете понятия.

[Diom]

Вроде бы я вас примерно понял. Но что бы окончательно уяснить позвольте задать три вопроса:
1) В приведенном вами примере все реализации такого случайного процесса будут функциями – константами т.е постоянными независимыми от времени числами.
2) вся совокупность одномерных распределений случайного процесса во все моменты времени не характеризует однозначно всех свойств случайного процесса? Необходимо еще знать все зависимости либо же все многомерные распределения?
3) То есть говоря о неких распределениях случайного процесса в определенные моменты времени, подразумеваются что таковыми распределения будут лишь изначально, до того как начнет реализовываться этот процесс, но по мере реализации возможно распределения будут меняться (если можно так сказать, превращаясь в условные распределения).

Извините если не совсем корректно выражаюсь.

[Горьковчанин]

Diom писал(а):

Вроде бы я вас примерно понял. Но что бы окончательно уяснить позвольте задать три вопроса:
1) В приведенном вами примере все реализации такого случайного процесса будут функциями – константами т.е постоянными независимыми от времени числами.

Да, правильно

Diom писал(а):

2) вся совокупность одномерных распределений случайного процесса во все моменты времени не характеризует однозначно всех свойств случайного процесса? Необходимо еще знать все зависимости либо же все многомерные распределения?

Вся совокупность одномерных распределений во все моменты времени является идентичными копиями распределения в любой момент, например, в начальный момент. Аналогичные утверждения справедливы и про двухмерные, трёхмерные и т.д. распределения. Можно сказать так: если вы измеряете процесс в разные моменты времени, то важно не когда вы сделали первое измерение, а каковы интервалы между измерениями.

Diom писал(а):

3) То есть говоря о неких распределениях случайного процесса в определенные моменты времени, подразумеваются что таковыми распределения будут лишь изначально, до того как начнет реализовываться этот процесс, но по мере реализации возможно распределения будут меняться (если можно так сказать, превращаясь в условные распределения).

Дело в том, что по мере наблюдения вы получаете не одну полную реализацию, а, так сказать, "сужающийся" пучок реализаций. Покуда вы не знаете, на какой реализации вы сидите, будущее можно прогнозировать только в вероятностном смысле.

Из стационарности процесса ничего определенного нельзя сказать об условных распределениях процесса. Рассмотрите пример белого шума $\{u_t;t=0,1,\ldots\}$ - процесса с независимыми значениями, и построенного на его основе процесса скользящего среднего (порядка q): $x_t=\sum_{k=0}^q \theta_k u_{t-k}$ - здесь значения процесса будут коррелированными (правда, не все, а только не слишком удалённые друг от друга). При этом оба процесса стационарные.

[Diom]

Благодарю за разъяснения
Я изначально неправильно понял о каких распределениях идет речь и спутал их с условными.