Mathematica: минимизации при условии.

[rkolev]

Добрый день. Сломал голову и перечитал мануал, то, что нужно, не нашёл.
У меня есть некая функция F[z_], которая зависит от других функций, которые зависят от параметров a,b,c,d

F[z_]: = (2*psi''[z] + 3 psi'[z] + psi[z] - 2*K'[z] + 2*K''[z]);
psi[z_] := -Exp[-d*z];
K[z_] := a*z - a/b*Log[Cosh[b*z]] + c;

Мне нужно, чтобы функция была всюду положительна. Я руками нашёл, какие условия накладываются для положительности на бесконечности. Помимо этого, мне нужно, чтобы a>0 b>0 b<1/6. Итого я задаю такие условия (первые три для положительностей на бесконечности):

d > 1/2 && d < 1  && -(a/b)*Log[2] - c > 0 && a > 0 && b > 0 && b < 1/6

Но мне ещё нужно, чтобы она где-то посередине между бесконечностями не опустилась ниже нуля. Как мне найти условие, что минимум F[z_] положителен при выполнении вышеуказанных условий?
Пытался найти минимум F[z_ ] в зависимости от параметров так:

Minimize[F[z], 
 d > 1/2 && d < 1  && -(a/b)*Log[2] - c > 0 && a > 0 && b > 0 && 
  b < 1/6, z]

вместо ответа выдаёт то же самое.

Помогите, пожалуйста, спасибо.
Спасибо.

[Aritaborian]

Вы не забыли, что функция задаётся не присваиванием (=), а отложенным присваиванием (:=)? Это первое, что бросается в глаза в вашем коде.

[rkolev]

Да, спасибо. Не знаю почему, но работает и без двоеточия.

[Aritaborian]

Так бывает. Есть свои тонкости.

[Vince Diesel]

Вы хотите искать минимум сложной функции, да еще с параметрами? Попробуйте при конкретных значениях параметров. Если не выйдет, то не стоит и пытаться в общем виде искать.

[rkolev]

Vince Diesel, в том и проблема, что минимум, который я найду, должен быть выражен через параметры, чтобы я могу получить условие на то, что этот минимум больше нуля. Минимум при конкретных значениях параметров меня не устраивает.

[Vince Diesel]

Есть ли какие-либо основания для надежды, что эта область (или хоть какие-то ее границы) можно описать с помощью элементарных функций? Например, чтобы найти значения параметров, при которых график $F$ касается прямой $z=0$, надо решать уравнение $F(z)=0$ относительно $z$ и параметров.

Конечно, возможен еще ответ "всегда" или "никогда" Для его проверки можно графики порисовать с помощью Manipulate.

rkolev в сообщении #998906 писал(а):

Я руками нашёл, какие условия накладываются для положительности на бесконечности.

Какой функции, $K$?

[rkolev]

Vince Diesel

Цитата:

Какой функции, $K$?

Функции F[z]. Я исследую эту функцию.

Цитата:

Есть ли какие-либо основания для надежды, что эта область (или хоть какие-то ее границы) можно описать с помощью элементарных функций?

Сама функция F[z] описывается элементарными функциями. Её можно было бы записать сразу без psi и K. Просто мне так было удобнее.
Вот функция F[z]:

Exp[-2*d*z]*(2*d^2-3*d+1)-2*(a*z - a/b*Log[Cosh[b*z]] + c)-2*a*b/Cosh[b*z]^2

$e^{-2dz}(2d^2-3d+1)-2(az-\dfrac{a}{b}\log[\cosh[bz]]+c)-\dfrac{2ab}{\cosh^2[bz]}$
Асимптотически она ведёт себя как
На бесконечности:

Exp[-2*d*z]*(2*d^2-3*d+1)

$e^{-2dz}(2d^2-3d+1)$
На минус бесконечности:

-a*Log[2]/b-c,

$-\dfrac{a}{b}\log(2)-c$
Но из-за того, что в ней есть

-2*a*b/Cosh[b*z]^2

$-\dfrac{2ab}{\cosh^2[bz]}$
она может опустить ниже нуля где-то вблизи z=0. Хотелось бы найти Это минимальное значение в зависимости от парамтеров, чтобы наложить на них условия.

[Vince Diesel]

rkolev в сообщении #998906 писал(а):

обрый день. Сломал голову и перечитал мануал, то, что нужно, не нашёл.
У меня есть некая функция F[z_], которая зависит от других функций, которые зависят от параметров a,b,c,d
Код:

F[z_]: = (2*psi''[z] + 3 psi'[z] + psi[z] - 2*K'[z] + 2*K''[z]);
psi[z_] := -Exp[-d*z];
K[z_] := a*z - a/b*Log[Cosh[b*z]] + c;

В определенной тут $F$ константа $c$ отсутсвует.

[Leierkastenmann]

Так а разве задачу нельзя свести к минимизации параметрической функции, только не от одной переменной, а от одной и всех параметров с условиями на параметры и условием, что функция всегда положительная? Что-нибудь типа

NMinimize[{F[z], F[z] > 0, d > 1/2, d < 1, -(a/b)*Log[2] - c > 0, 
  a > 0, b > 0, b < 1/6}, {z, a, b, c, d}]

Или обязательна аналитическая зависимость минимума от параметров?