Область интегрирования тройного интеграла

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Снизу на рисунке изображена проекция сферы, по которой (по сфере) нужно взять тройной интеграл. Сфера сдвинута вниз по оси $Oz$ на $z_1$. .
Уравнение сферы $x^2+y^2+(z+z_1)^2=R^2$. Подскажите пожалуйста, как изменяются сферические координаты $r,\psi$. Если ввести их именно таким образом

$$ \begin{cases} x=r \cos(\varphi)\cos(\psi)\\ y=r \sin(\varphi)\cos(\psi)\\ z=r \sin(\psi) \end{cases} $$

У меня получилось, что подойдут такие пределы интегрирования $\varphi=0..2\pi$,$\psi=-\pi..\arccos(\frac{R}{z_1})$,$r=-\sqrt{z_1^2\sin(\psi)+R^2-z_1^2}-z_1\sin(\psi)..\sqrt{z_1^2\sin(\psi)+R^2-z_1^2}-z_1\sin(\psi)$. $r$ я получил из уравнения сферы.

[Otta]

Жуть какая. И что Вы с этим потом будете делать? Какой интеграл брать?

RikkiTan1 в сообщении #998115 писал(а):

Если ввести их именно таким образом

Вы уверены, что именно такой образ Вам нужен?

[RikkiTan1]

Интеграл выглядит так $\int\int\int \frac{dxdydz}{\sqrt{x^2+y^2+(z-z_1)^2}}$
Интеграл берется по сфере $x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2$
Я ввел

$$ \begin{cases} x=r \cos(\varphi)\cos(\psi)\\ y=r \sin(\varphi)\cos(\psi)\\ z=r \sin(\psi)+z_1 \end{cases} $$

и получил, что написано выше. Я уже решил этот интеграл другим способом. Просто подумал, что область из первого сообщения легко описывается, но не мною

[Otta]

Нет, конечно. И совершенно незачем портить область интегрирования, смещая, пытаясь исправить подынтегральную функцию - тут хвост вытащишь, нос увязнет. Интегрировать надо в цилиндрических координатах, конечно.

[svv]

(Оффтоп)

RikkiTan1, как Вы всегда красиво рисуете!