Вопрос по натуральному логарифму

[KiberMath]

В учебнике натуральный логарифм определяеться как

$ln x = \int\limits_{1}^{x} \frac{dt}{t}$

И рассматривая функцию 1/x делаеться вывод, что ln x определен на (0; +\infty)
А исходя из чего она не определена при x<0, как это следует из определения?

А елси пределы интеграла поменять с [1; x] на [g; x], где g - какое-то другое число это бы прям коренным образом изменило понятие натурального логарифма?

[Taras]

KiberMath писал(а):

В учебнике натуральный логарифм определяеться как

$ln x = \int\limits_{1}^{x} \frac{dt}{t}$

И рассматривая функцию 1/x делаеться вывод, что ln x определен на (0; +\infty)
А исходя из чего она не определена при x<0, как это следует из определения?

А вы уверены, что можно интегрировать функцию $f(x)= \frac 1 x $ на [a,b], где a<0, b>0, она же неогранничена на $[a,b]$, а необходимым условием интегрируемости по Риману-ограниченность на заданом отрезке подинтегральной функции.

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

А елси пределы интеграла поменять с [1; x] на [g; x], где g - какое-то другое число это бы прям коренным образом изменило понятие натурального логарифма?

Если g>0, то получится функция

\[y = \ln cx\]

[Zai]

Чему тогда равен интеграл $ \int\limits_{-1}^{1} \frac{dt}{t}$?

[Алексей К.]

KiberMath писал(а):

А елси пределы интеграла поменять с [1; x] на [g; x], где g - какое-то другое число это бы прям коренным образом изменило понятие натурального логарифма?

Некоренным:

$$\int\limits_{g}^x\frac{{\mathrm d}t}{t}=\underbrace{\int\limits_g^1\frac{{\mathrm d}t}{t}}_{const}+\int\limits_1^x\frac{{\mathrm d}t}{t}$$

Или ---

Brukvalub писал(а):

Если g>0, то получится функция

\[y = \ln cx\]

но ---

$$\ln cx = \underbrace{\ln c}_{const} + \ln x$$

[KiberMath]

Действительно. разобрался
Всем огромное спасибо

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

Если g>0, то получится функция
$y = \ln cx$

А если $g<0$, то тоже получится $y = \ln cx$. Только вот $c$ будет отрицательным

[Taras]

Zai писал(а):

Чему тогда равен интеграл $ \int\limits_{-1}^{1} \frac{dt}{t}$?

Ни чему. Он не существует. Посмотрите мой предидущий пост.