Здравствуйте!
В других ветках этого раздела обсуждался ряд арифметических операций и попытки его обобщения, то есть вывод правил для операций, в некотором специальном смысле предшествующих сложению с вычитанием или, наоборот, следующих за возведением в степень. Вот ссылка на одну из таких тем:
post997188.html#p997188В том числе, могу рекомендовать книгу В.В. Шустова:
http://www.vixri.com/d3/Shustov%20V.V.% ... ojstva.pdfи статью Рубцова:
http://www.geocities.ws/rubcov/russia/01.htm.
Кроме того, несмотря на специфичность сайта и манеры изложения, терпеливым рекомендую книгу
http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/2124-kt1.pdf.
В этой последней книге, как раз, предложен "мультипликативный анализ", который строится следующим образом.
Рассмотрим переменную

, ее малое конечное приращение

и приращенное значение

.
Рассмотрим соотношение

.
Обозначим его, например, как

.
По-видимому,

при

.
Бесконечно малому приращению

переменной

будет соответствовать значение

, отличающееся от

на бесконечно малую же величину; введем обозначение

и назовем ее квотиэнциалом, от англ. quotient - частное, по аналогии с названием "дифференциал".
Теперь рассмотрим квотиэнциал

функции

:

.
Чтобы количественно охарактеризовать связь между квотиэнциалами самой функции и ее аргумента, использовать операцию деления бесполезно, поскольку предел отношения квотиэнциалов всегда будет стремиться к

.
Однако можно использовать логарифмирование и ввести понятие квотиэнциальной производной от функции: по определению,

.
Используя разложение экспоненциальной функции

в ряд Тейлора в окрестности точки

, получаем, что

,
или

,
что справедливо как для независимой переменной

, так и для функции

.
Возвращаясь к квотиэнциальной производной, получаем следующее выражение:

.
Конечно же, его вывод нестрогий и построен на прямом использовании дифференциальных записей, без предельного перехода. При этом отбрасывались величины второго и высших порядков малости.
Разумеется, область применимости такого исчисления не совпадает с таковой для дифференцирования.
Я почти не занимался строгим обоснованием квотиэнциального исчисления и разработкой его приложений. Здесь только могу отметить, что аналогичным образом могут быть построены и другие системы анализа, по одной на основе каждой обратной арифметической операции: для вычитания - диффенциальный анализ, для деления - этот квотиэнциальный анализ; для возведения в степень, в силу его некоммутативности, возможны уже две ветви анализа, построенные на операциях логарифмирования и извлечения корня, и так далее.
По-видимому, после корректного определения операции, предшествующей сложению, и потом - обратной к ней, возможным станет рассмотреть аналогичное исчисление и для нее, и так далее.
Видим следующее.
Возьмем ряд арифметических операций, условно "направленный" от сложения к возведению в степень. По-видимому, по тому же принципу, по которому определены умножение - через сложение и возведение в степень - через умножение, можно построить и операции, следующие и предыдущие в этом ряду. (При этом желательно стремиться к достижению максимально полной аналогии между свойствами всех этих новых операций. Например, для них всех ассоциативность и коммутативность не могут быть обеспечены, но возможны законы дистрибутивности и непрерывная и плавная зависимость результата от каждого операнда.)
Далее, при введении каждой такой операции, вместе с ней определяется и обратная к ней, что приводит к соответствующему доопределению множества чисел или к новой бинарной классификации уже имеющихся. На этой основе может быть развита и соответствующая форма анализа функций: дифференциальная, квотиэнциальная, и так далее.