Задача про шары

[Alexander Evnin]

В мешке $n$ белых шаров и $n+1$ чёрных. Петя выбирает (равновероятно)
число $k$ от 1 до $n+1$, после чего Вася из мешка достаёт $k$ шаров.
Какова вероятность того, что среди вынутых шаров все, кроме одного,
будут белыми?

Ответ к этой задаче даётся очень простой и короткой формулой, однако
два известных мне решения весьма неэлементарны...

[mihailm]

Alexander Evnin в сообщении #997221 писал(а):

...кроме одного,...

Этот "один" может быть белым?

[Shadow]

Тоесть, будет ровно один черный?

$\displaystyle P=\sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{{n \choose k-1}}{{2n+1\choose k}}$

осталось доказать что эта сумма равна $\dfrac{2}{n+2}$

[Evgenjy]

Alexander Evnin в сообщении #997221 писал(а):

Какова вероятность того, что среди вынутых шаров все, кроме одного,
будут белыми?

Что должно быть при $k=1$?

[atlakatl]

Evgenjy в сообщении #997263 писал(а):

Что должно быть при $k=1$?

Alexander Evnin в сообщении #997221 писал(а):

среди вынутых шаров все, кроме одного, будут белыми

Т.е. при $k=1$ это должен быть чёрный шар, а "все, кроме одного" - это $1 - 1 = 0$ белых шаров.

[mihiv]

Shadow в сообщении #997256 писал(а):

$\displaystyle P=\sum\limits_{k=1}^{n+1} \dfrac{{n \choose k-1}}{{2n+1\choose k}}$

осталось доказать что эта сумма равна $\dfrac{2}{n+2}$

Подставим в сумму явные выражения для биномиальных коэффициентов. После преобразований получим:

$$P=\dfrac {(n!)^2}{(2n+1)!}\sum \limits _{k=1}^{n+1}kC^n_{2n-k+1}\qquad (1)$$

Нам понадобится тождество:

$$C^{m+1}_{n+1}=C^n_n+C^n_{n-1}+\cdots +C^m_m, m\leq n\qquad (2)$$

Оно получается последовательным применением тождества $C^{m+1}_{n+1}=C^m_n+C^{m+1}_n$
Сумму в формуле (1) можно записать в виде двойной суммы:

$$\sum ^{n+1}_{k=1}=\sum ^{n+1}_{k=1}\sum ^{n+1}_{l=k}C^n_{2n-l+1}\qquad (3)$$

С помощью тождества (2) получим, что внутренняя сумма $S_k=C^{n+1}_{2n-k+2}$, и, следовательно,

$$P=\dfrac {(n!)^2}{(2n+1)!}\sum ^{n+1}_{k=1}C^{n+1}_{2n-k+2}$$

Снова сворачиваем сумму с помощью тождества (2) и получим:

$$P=\dfrac {(n!)^2}{(2n+1)!}C^{n+2}_{2n+2}=\dfrac 2{n+2}$$