2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл корреляционной функции сигнала
Сообщение27.03.2015, 10:11 


27/03/15
16
Доброго дня, уважаемые форумчане.
Прошу помочь разобраться с интегралом приведенным ниже(спектр плотности сигнала):
$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(2\cdot\pi\cdot\beta\cdot\tau)^2}{(2\cdot\pi\cdot\beta\cdot\tau)^2}\cdot\cos(2\cdot\pi\cdot f \cdot\tau) d\tau$

Выражение $(2\cdot\pi\cdot\beta)$ имеет численное значение. Из исходных данных известно, что $\beta=f_g=\operatorname{const}$. Тогда $\omega_0=2\cdot\pi\cdot f_g$
и $\omega=(2\cdot\pi\cdot f) $.

Таким образом формула приобретет вид:
$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin (\omega_0\cdot\tau)^2}{(\omega_0\cdot\tau)^2}\cdot\cos(\omega \cdot\tau) d\tau$
Подскажите пожалуйста, подтолкните пожалуйста в нужном направлении. Надо же как-то формулу плотности спектра вывести. С помощью неё ещё мощность сигнала считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл корреляционной функции сигнала
Сообщение27.03.2015, 10:23 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
Интегрированием по частям приведите степень знаменателя к первой, затем вспомните детство и сведите всё к комбинации интегралов вида $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin\alpha\tau}{\tau}\,d\tau$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл корреляционной функции сигнала
Сообщение27.03.2015, 10:32 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3642
Бурашево
Если интегрирование не самоцель, то здесь всего лишь пребразование Фурье от $sinc^2(\omega_0\tau)$. Посмотреть в таблицах. Результат - треугольная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл корреляционной функции сигнала
Сообщение27.03.2015, 10:41 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
Ну или промежуточный вариант. Если знать, что оно треугольное, то посчитать обратное преобразование от него и сопоставить с исходным интегралом. (За знаками можно не следить -- и так ясно, что в нуле оно положительно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл корреляционной функции сигнала
Сообщение27.03.2015, 11:56 


27/03/15
16
Да в том и дело, что привести надо к треугольной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл корреляционной функции сигнала
Сообщение27.03.2015, 12:11 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
Если нужно именно привести, то интегрируйте по частям (можно, конечно, продифференцировать по параметру, но там возни с формальным обоснованием больше). Треугольность, т.е. кусочность результата, возникнет из-за того, что $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin\alpha\tau}{\tau}\,d\tau=\frac{\pi}2\operatorname{sgn}\alpha$, поэтому в зависимости от положения $\omega$ по отношению к $\omega_0$ эти интегралы будут где-то сокращаться, а где-то удваиваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл корреляционной функции сигнала
Сообщение27.03.2015, 14:19 


27/03/15
16
Благодарю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group