Гомоморфизмы и автоморфизмы алгебраического замыкания

[greg2]

Добрый день,
В одной из теорем прозвучала такая вещь: пусть $T \leq U \leq K$ поля, а $K$ алгебраически замкнутое и пусть $\varphi: U \rightarrow K$ - Т-мономорфизм, то есть $\varphi \mid_T=Id$. Расширим(если это называется не так, прошу прощения) $\varphi$ на автоморфизм $K$(то есть выберем из множества всех автоморфизмов $K$ такой автоморфизм $\psi$, что $\psi \mid_U=\varphi$). Вопрос - почему можно с уверенностью сказать, что существует такое расширение?

[AV_77]

Поле $K$ получается из $U$ последовательностью простых расширений (не обязательно конечной) и автоморфизм $\varphi$ последовательно продолжается на промежуточные поля. Для каждого отдельного расширения это не сложно. Возможно, конечно, что понадобится трансфинитная индукция. Детально можно, например, у ван дер Вардена посмотреть.