2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поворот в четырёхмерном пространстве
Сообщение26.03.2015, 16:04 


10/09/14
284
Проверьте пожалуйста правильность решения задачи: есть четырёхмерное евклидово пространство с ортонормированным базисом $e$, необходимо найти матрицу поворота на угол $\frac{\pi}{2}$ в линейной оболочке $L$ векторов $\langle e_2+e_3, e_1-e_4\rangle$, вектора ортогонального дополнения $L_d$ этой линейной оболочки неподвижны.
Моё решение в общем виде: находим базис в линейной оболочке $L$ и его ортогональном дополнении $L_d$, объединяем их и получаем базис в пространстве $E_4$ , пусть координатные столбцы векторов этого базиса образуют матрицу $S$, она является по сути матрицей перехода от исходного ортонормированного базиса к новому (он будет ортогональным в данной задаче).
Рассмотри произвольные вектор $x\in E_3$ с координатным столбцом $\xi$, найдём его компоненты в новом базисе $\xi_1=(S^{-1})^T \xi$ и применим в новом базисе соответствующую матрицу поворота $A$, получим координаты повёрнутого вектора в новом базисе $\xi_2=A(S^{-1})^T\xi$, осталось только перейти в исходный базис используя матрицу перехода $\xi_3=SA(S^{-1})^T\xi$, т.о. матрица поворота будет $SA(S^{-1})^T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот в четырёхмерном пространстве
Сообщение26.03.2015, 16:20 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Ну вообще-то грех не воспользоваться тем, что пара $e_2+e_3,\; e_1-e_4$ весьма специфична. Эти векторы мало того что ортогональны и имеют одинаковую длину, но и базис ортогонального дополнения к ним вполне очевиден -- это $e_2-e_3,\; e_1+e_4$, да к тому же и угол -- 90 градусов. Соответственно, $A(e_2+e_3)=e_1-e_4$, $A(e_1-e_4)=-(e_2+e_3)$, $A(e_2-e_3)=e_2-e_3$, $A( e_1+e_4)=e_1+e_4$, откуда практически сразу и сама $A$. И для произвольного угла поворота было бы не намного сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот в четырёхмерном пространстве
Сообщение26.03.2015, 17:12 


10/09/14
284
Спасибо за более простой путь, а для более общего случая моё решение верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот в четырёхмерном пространстве
Сообщение26.03.2015, 22:45 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Viktor92 в сообщении #995969 писал(а):
найдём его компоненты в новом базисе $\xi_1=(S^{-1})^T \xi$
Зачем здесь транспонирование?
Пусть векторы, координаты (а также индексы в матрице перехода) без черточек относятся к исходному базису, а с черточками — к новому.
Формулы такие:
$\begin{array}{l}\bar{\mathbf e}_k = \mathbf e_i\;S^i{}_{\bar k}\\
\mathbf e_i = \bar{\mathbf e}_k\;S^{\bar k}{}_i\\
\mathbf a=\mathbf e_i\;a^i=\bar{\mathbf e}_k\;\bar a^k\\
a^i=S^i{}_{\bar k}\;\bar a^k\\
\bar a^k=S^{\bar k}{}_i\;a^i\\S^i{}_{\bar k}\;S^{\bar k}{}_\ell=\delta^i_\ell\end{array}$
Все формулы записаны так, чтобы умножение соседних объектов можно было интерпретировать как матричное. Видно, что везде используется либо $S$ с элементами $S^i{}_{\bar k}$, либо $S^{-1}$ с элементами $S^{\bar k}{}_i$.

Второй вопрос. Ну, а как в новом удобном базисе выглядит матрица поворота? Может, даже для произвольного угла сможете записать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот в четырёхмерном пространстве
Сообщение27.03.2015, 15:43 


10/09/14
284
svv в сообщении #996182 писал(а):
Зачем здесь транспонирование?

Да, ошибся. Замену базиса проходил давно и в конспекте неправильные формулы были, т.к. сам их в матричной форме выводил, спасибо Вам за верные, а то в учебниках каждый автор, как захочет их напишет или не запишет совсем.
svv в сообщении #996182 писал(а):
Второй вопрос. Ну, а как в новом удобном базисе выглядит матрица поворота? Может, даже для произвольного угла сможете записать?

Думаю вот так.
$$\begin{pmatrix}
 \cos a& -\sin a& 0 &0 \\
 \sin a&\cos a &0  &0 \\
0 &0 & 1 &0 \\
 0& 0&0 &  1
\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот в четырёхмерном пространстве
Сообщение28.03.2015, 01:01 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Да, правильно. Первый базисный вектор переходит в вектор с координатами из первого столбца, и так далее.

Используя результаты предыдущих задач, можно найти и бескоординатную формулу. Разложить вектор $x$ на $x_L$ и $x_D$, где $L$ — линейная оболочка двух заданных векторов, а $D$ — ортогональное дополнение (размерности $n-2$ в общем случае). Оператор поворота $\textsf{A}$ преобразует $x_L$ понятно как, а $x_D$ не меняет: $\textsf{A}x_D=x_D$. Остается сложить $\textsf{A}x_L$ и $x_D$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group