понятия сходимости возвратных последовательностей в школе

[eugrita]

Численный метод итераций в применении например к квадратному или кубическому уравнению дает примеры возвратных (рекуррентных) последовательностей 1-го порядка.
Например для уравнения $x^2-bx-c=0$
можно построить как минимум 2 последовательности
$x_{i+1}=\sqrt{b \cdot x_i +c}$ и
$x_{i+1}=b+ \frac{c}{x_i}$
Можно поставить задачу -найти область параметров при которых одна или другая последовательность сходятся или расходятся.
(области сходимости для данных примеров различны)
Если на примере квадратного уравнения еще не так сложно найти области аналитически то уже на примере кубического уравнения
$x^3-bx-c=0$ или $x^3-a x^2-bx-c=0$ это уже сделать сложнее:
или такая последовательность $x_{i+1}=b+ \frac{c}{x_i^2}$
или такая $x_{i+1}=\sqrt [3] {b \cdot x_i +c}$
Отсюда возникает класс задач (на простых примерах об определении пределов возвратных последовательностей.
Которые может быть можно предложить в школе или уж точно на 1 курсе на мат.анализе
(Формально элементы теории пределов включены в школьный курс но как-то "заныканы")
известны например $\sqrt{2+\sqrt{2}+...}$ но менее известна
$\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{a+\sqrt{b}}}+...}$
Аналогичные задачи на модификации метода касательных Ньютона известны в Вузах.

Предлагаю вопросы для обсуждения
1)расширение в школьных материалах понятия последовательности прежде всего за счет возвратных
В стандартной программе средней школы есть только 2 темы относящиеся к рядам - это арифметическая и геометрическая прогрессии. В то же время численные методы даже самые простые - деление пополам, итераций - это прерогатива вузов.
Даже понятие арифметико-геометрической прогрессии не рассматривается несмотря на тенденцию последних лет к
увеличению задач финансового характера - элементов финансовой математики.
Хотя в отдельных материалах относящихся к школе рассматривается теория линейных возвратных последовательностей к-порядка с выводом формул для членов - но это не включено в стандарт.
Если уж сказали А - ввели понятия производной предела и интеграла то надо говорить и Б: расширение понятие последовательностей возвратные последовательности (с примерами Фибоначчи).
2). В связи с этим изложение метода итераций (и возможно других простейших)
Иллюстрация нелинейных возвратных последовательностей итерационным методом.
Неподвижные точки отображения с примерами
3)проведение совместных занятий по математике и информатике по некоторым темам
Если задачи на возвратные последовательности дополнить . написанием программ метода итераций то исследование этой темы для школьника или студ станет еще интереснее.
удобно вместе с методами поиска экстремума функций также давать простейшие численные метолы поиска экстремума ,Например простейший градиентный. (несмотря на то что теория оптимизации весьма обширна и изучается в ВУЗЕ и на курсах ИПК)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Вопросы преподавания» в форум «Карантин»
Причина переноса: не сформулирован предмет обсуждения

eugrita
Сформулируйте явно предмет обсуждения темы.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Вопросы преподавания»