Функциональное Уравнение

[rightways]

$f:Z\to Z$ и
$f(x-f(y))=f(x)^2+f(2x-f(y))$ для всех $x,y\in Z$.
Докажите, что $f(f(x))=0$.

[ИСН]

Ну, поехали.
$f(0-f(y))=f(0)^2+f(2\cdot0-f(y))$
$f(-f(y))=f(0)^2+f(-f(y))$
$f(0)=0$
Теперь
$f(x-f(0))=f(x)^2+f(2x-f(0))$
$f(x)=f(x)^2+f(2x)$
$f(2x)=f(x)-f(x)^2$
Уже что-то. Думаю дальше.

-- менее минуты назад --

Дальше берём $x=f(y)$. Тогда
$f(f(y)-f(y))=f(f(y))^2+f(2f(y)-f(y))$
$f(f(y))^2+f(f(y))=f(0)=0$
$f(f(y))\in\{-1,0\}$
Пол-дела сделано.

[grizzly]

ИСН в сообщении #995318 писал(а):

Пол-дела сделано.

Хотел бы я видеть то решение, у которого это половина :)
У меня оставшееся получилось безыдейно, но длинно.

Подставим $f(f(y))$ вместо $f(y)$. И пусть дальше от противного $f(f(y))=-1$ для некоторого $y$:
$f(x+1)=f(x)^2+f(2x+1)$.
$f(-1)^2=-f(-1)$ (это при $x=-1$), что даёт два варианта.
Для отрицательных $n$ c учётом имевшегося ранее $f(x)=f(x)^2+f(2x)$ получим:
$f(-1)=f(-1)^2+f(-2)$
$f(-1)=f(-2)^2+f(-3)$;
$f(-2)=f(-2)^2+f(-4)$;
$f(-2)=f(-3)^2+f(-5)$...
При $f(-1)=0$ легко раскрутим $f(n)=0, n\le 0$.
А при $f(-1)=-1$ имеем $f(-2)=-2, но это уже не удовлетворяет перекрёстному допросу:
$f(0)= f(-2-f(-2))=4+f(-4+2)=2\ne 0$. Противоречие. Следовательно, $f(-1)=0$, и $f(n)=0, n\le 0$.

Теперь смотрим $f(n)$ для положительных $n$. Если $f(1)\le 0$, то $f(n)\le 0, n>1,$ и $f(f(n))=0$.
Осталось рассмотреть случай $f(1)\ge 1$.
Тогда $f(1-f(1))=f(1)^2+f(2-f(1))$. Здесь слева 0, а справа сумма положительного и неотрицательного слагаемых. Это противоречие завершает доказательство.