Простота чисел Мерсена.

[Руст]

Обобщённые числа Мерсена определяются по формуле $M(a,b,p)=\frac{a^p-b^p}{a-b}$.
Существует ли простое число Мерсена вида M(p,1,p) c p=1(mod 4) ?

[maxal]

Вопрос с намеком на отрицательный ответ? Или же открытая проблема?
Проверил простые $p< 11000$ - для них все числа $M(p,1,p)$ оказались составными.

[Руст]

Как я понял, это вполне решаемая задача. Иначе вряд ли Zetax предложил бы её в Mathlinks. Пусть q=M(p,1,p) простое для простого p=1(mod 4). Ясно, что p-1 и q-1 делятся на одинаковую степень двойки >=2. К тому же p является как минимум 4 - той степенью по модулю p. Как понял, из этого можно получить противоречие. Только я не доводил рассуждения до конца.

[maxal]

Руст писал(а):

Как я понял, это вполне решаемая задача. Иначе вряд ли Zetax предложил бы её в Mathlinks. Пусть q=M(p,1,p) простое для простого p=1(mod 4). Ясно, что p-1 и q-1 делятся на одинаковую степень двойки >=2. К тому же p является как минимум 4 - той степенью по модулю p. Как понял, из этого можно получить противоречие. Только я не доводил рассуждения до конца.

И все же пока ни у кого не получилось ее решить. Что-то мне подсказывает, что это отнюдь не простая, если вообще решаемая задача.

P.S. оригинал тут: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=169135