извлечение чётной (нечётной) части из функциональной суммы

[bayak]

Собственно требуется найти частичную сумму

$$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x}{2k(2k+x)},$$

при том, что полная сумма выражается через логарифмическую производную гамма-функции

$$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x}{k(k+x)}=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} + \gamma +\frac{1}{x}.$$

[svv]

В первую сумму вместо $x$ подставьте $2x$ и посмотрите, как это связано со второй суммой, известной.

[bayak]

Действительно, подставил и получил, что первая равна половине второй. Значит нечётная часть равна чётной. Спасибо за подсказку.

[svv]

Первая от $2x$ равна половине второй от $x$, OK?

[bayak]

svv в сообщении #995097 писал(а):

Первая от $2x$ равна половине второй от $x$, OK?

Да, OK.

-- Вт мар 24, 2015 23:10:35 --

bayak в сообщении #995096 писал(а):

Значит нечётная часть равна чётной.

Тут я ляпнул не в строчку. На самом деле, четная сумма отличается от нечётной на разность полной суммы от $x$ и $x/2$.