Изоморфизмы колец

[greg2]

Не могу разобраться с такой вещью: пусть $R$ - кольцо. $J$, $I$, $J'$,$I'$, такие идеалы $R$, что $J \subset I$, $J' \subset I'$, $J \simeq J'$, $I/J \simeq I'/J'$. Ведь из этого следует, что $I \simeq I'$? Как это доказать, интуитивно вроде бы так должно быть, но в голову не приходит как доказать.

Аналогичный вопрос и про модули

[AV_77]

Не надо доверять интуиции, она вас подводит. Возьмем такой модуль $R = \mathbb{Z}_4 + \mathbb{Z}_2 + \mathbb{Z}_2$ и в нем подмодули $I = \mathbb{Z}_4$, $J = 2 \mathbb{Z}_4$, $I' = \mathbb{Z}_2 + \mathbb{Z}_2$ и $J' = \mathbb{Z}_2$.

[greg2]

Хм. Хорошо, а могут быть, наверное, условия, когда это действительно? Например, в кольце главных идеалов или, например, для колец многочленов, хоть они и являются кольцами главных идеалов.

[user14284]

-

[AV_77]

Для модулей это не верно, пример выше. Но это верно для векторных пространств.
Для колец в общем случае тоже не верно --- $R = \mathbb{Z}_4 + \mathbb{Z}_2$, а идеалы определены так: $I = \mathbb{Z}_4$, $J = 2 \mathbb{Z}_4$, $I' = 2 \mathbb{Z}_4 + \mathbb{Z}_2$, $J' = 2 \mathbb{Z}_4$. Для колец главных идеалов не знаю, по крайней мере контрпримера, если он есть, сходу не видно.