2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Азы дифференциальной геометрии.
Сообщение23.03.2015, 15:29 


16/12/14
414
Прошу проверить правильность выполнения заданий:
1 номер.
Записать уравнение касательной к кривой, заданной вектор-функцией:
$ \mathbf{r}= \left\lbrace a\cos^3(t); a\sin^3(t)\right\rbrace$
Найдем производную вектор-функции:
$\mathbf{\dot{r}}= \left\lbrace -3a\cos^2(t)\sin(t);3a\sin^2(t)\cos(t)\right\rbrace$
Производная от нашей вектор-функции является направляющим вектором касательной, а сама вектор-функция - радиус-вектор точки касания; исходя из этого можно заявить, что само уравнение касательной в векторном виде примет вид:
$\mathbf{h} = \mathbf{\dot{r}}\tau + \mathbf{r} = \left\lbrace  a\cos^3(t) -\tau3a\cos^2(t)\sin(t);a\sin^3(t)+\tau3a\sin^2(t)\cos(t)\right\rbrace$
$\mathbf{h}= \left\lbrace a\cos^2(t)(\cos(t) - \tau3\sin(t)); a\sin^2(t)( \sin(t) + \tau3\cos(t))\right\rbrace$
Перепишем это в параметрической форме:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 & x= a\cos^2(t)(\cos(t) - \tau3\sin(t))& \\
 & y =a\sin^2(t)( \sin(t) + \tau3\cos(t))& \\
\end{array}
\right.$

И второй вопрос, к этой же задаче определить длину дуги кривой, между точками $t=0; t = T, 0 \leqslant T \leqslant \frac{\pi}{2}$

$\mathbf{r}= \left\lbrace a\cos^3(t); a\sin^3(t)\right\rbrace$
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &x = a\cos^3(t) & \\
 &y = a\sin^3(t)& \\
\end{array}
\right.$
Применим формулу длину кривой:
$ L = \int\limits_{0}^{T}\sqrt{ \dot{x}^2 +  \dot{y}^2}dt = \int\limits_{0}^{T}\sqrt{ (-3a\cos^2(t)\sin(t))^2 +  (3a\sin^2(t)\cos(t))^2}dt $
[math]$L = \int\limits_{0}^{T}3a\cos(t)\sin(t)dt =\frac{3a}{2} \int\limits_{0}^{T}\sin(2t)dt = \frac{3a}{4}(-\cos(0) + \cos(2T)) = \frac{3a(\cos(2T) - 1)}{4}=\frac{3a\sin^2T}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы дифференциальной геометрии.
Сообщение23.03.2015, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Pulseofmalstrem в сообщении #994521 писал(а):
$\dots = \frac{3a\cos(2T)}{4}$

Что обращается в 0 при $T={\pi\over4}$, например.
Остального не читал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы дифференциальной геометрии.
Сообщение23.03.2015, 15:35 
Заслуженный участник


16/02/13
2939
Владивосток
Почти до конца. Интеграл взяли верно, $-\frac{3a}4\cos{2t}$. А вот при подстановке пределов, имхо, знаки как-то не так стоят. И там ещё одно, но про это ИСН уже написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы дифференциальной геометрии.
Сообщение23.03.2015, 15:39 


16/12/14
414
ИСН
Ой, при перепечатывании забыл, что там удвоенный угол, все понял спасибо!
(А уравнение касательной правильно выписано?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы дифференциальной геометрии.
Сообщение23.03.2015, 15:56 
Заслуженный участник


16/02/13
2939
Владивосток
Вообще-то, $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$, $\cos2\alpha-1=\dots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы дифференциальной геометрии.
Сообщение23.03.2015, 15:58 


16/12/14
414
iifat
Но длина должна же быть положительной, походу там где-то знак напутан...

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы дифференциальной геометрии.
Сообщение23.03.2015, 16:13 
Заслуженный участник


16/02/13
2939
Владивосток
Дык — о чём я и говорю ж. Только в этом случае надо найти, где знак испортился, а не выкидывать как идеологически вредный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы дифференциальной геометрии.
Сообщение23.03.2015, 16:48 


16/12/14
414
iifat
Возможно, дело в том, что когда я снимал корень под знаком интеграла следовало поставить знак модуля, потому как так по-хорошому извлекают корень

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы дифференциальной геометрии.
Сообщение23.03.2015, 17:44 
Заслуженный участник


16/02/13
2939
Владивосток
iifat в сообщении #994526 писал(а):
А вот при подстановке пределов, имхо, знаки как-то не так стоят


-- 24.03.2015, 01:46 --

Ну и
Pulseofmalstrem в сообщении #994569 писал(а):
когда я снимал корень под знаком интеграла следовало поставить знак модуля
Подозреваю, да, но на то ж вам в задаче и дали условие
Pulseofmalstrem в сообщении #994521 писал(а):
$0 \leqslant T \leqslant \frac{\pi}{2}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group