Азы дифференциальной геометрии.

[Pulseofmalstrem]

Прошу проверить правильность выполнения заданий:
1 номер.
Записать уравнение касательной к кривой, заданной вектор-функцией:
$ \mathbf{r}= \left\lbrace a\cos^3(t); a\sin^3(t)\right\rbrace$
Найдем производную вектор-функции:
$\mathbf{\dot{r}}= \left\lbrace -3a\cos^2(t)\sin(t);3a\sin^2(t)\cos(t)\right\rbrace$
Производная от нашей вектор-функции является направляющим вектором касательной, а сама вектор-функция - радиус-вектор точки касания; исходя из этого можно заявить, что само уравнение касательной в векторном виде примет вид:
$\mathbf{h} = \mathbf{\dot{r}}\tau + \mathbf{r} = \left\lbrace a\cos^3(t) -\tau3a\cos^2(t)\sin(t);a\sin^3(t)+\tau3a\sin^2(t)\cos(t)\right\rbrace$
$\mathbf{h}= \left\lbrace a\cos^2(t)(\cos(t) - \tau3\sin(t)); a\sin^2(t)( \sin(t) + \tau3\cos(t))\right\rbrace$
Перепишем это в параметрической форме:
$\left\{ \begin{array}{rcl} & x= a\cos^2(t)(\cos(t) - \tau3\sin(t))& \\ & y =a\sin^2(t)( \sin(t) + \tau3\cos(t))& \\ \end{array} \right.$

И второй вопрос, к этой же задаче определить длину дуги кривой, между точками $t=0; t = T, 0 \leqslant T \leqslant \frac{\pi}{2}$

$\mathbf{r}= \left\lbrace a\cos^3(t); a\sin^3(t)\right\rbrace$
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x = a\cos^3(t) & \\ &y = a\sin^3(t)& \\ \end{array} \right.$
Применим формулу длину кривой:
$ L = \int\limits_{0}^{T}\sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2}dt = \int\limits_{0}^{T}\sqrt{ (-3a\cos^2(t)\sin(t))^2 + (3a\sin^2(t)\cos(t))^2}dt $
[math]$L = \int\limits_{0}^{T}3a\cos(t)\sin(t)dt =\frac{3a}{2} \int\limits_{0}^{T}\sin(2t)dt = \frac{3a}{4}(-\cos(0) + \cos(2T)) = \frac{3a(\cos(2T) - 1)}{4}=\frac{3a\sin^2T}{2}$

[ИСН]

Pulseofmalstrem в сообщении #994521 писал(а):

$\dots = \frac{3a\cos(2T)}{4}$

Что обращается в 0 при $T={\pi\over4}$, например.
Остального не читал.

[iifat]

Почти до конца. Интеграл взяли верно, $-\frac{3a}4\cos{2t}$. А вот при подстановке пределов, имхо, знаки как-то не так стоят. И там ещё одно, но про это ИСН уже написал.

[Pulseofmalstrem]

ИСН
Ой, при перепечатывании забыл, что там удвоенный угол, все понял спасибо!
(А уравнение касательной правильно выписано?)

[iifat]

Вообще-то, $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$, $\cos2\alpha-1=\dots$

[Pulseofmalstrem]

iifat
Но длина должна же быть положительной, походу там где-то знак напутан...

[iifat]

Дык — о чём я и говорю ж. Только в этом случае надо найти, где знак испортился, а не выкидывать как идеологически вредный.

[Pulseofmalstrem]

iifat
Возможно, дело в том, что когда я снимал корень под знаком интеграла следовало поставить знак модуля, потому как так по-хорошому извлекают корень

[iifat]

iifat в сообщении #994526 писал(а):

А вот при подстановке пределов, имхо, знаки как-то не так стоят

-- 24.03.2015, 01:46 --

Ну и

Pulseofmalstrem в сообщении #994569 писал(а):

когда я снимал корень под знаком интеграла следовало поставить знак модуля

Подозреваю, да, но на то ж вам в задаче и дали условие

Pulseofmalstrem в сообщении #994521 писал(а):

$0 \leqslant T \leqslant \frac{\pi}{2}$