n-ая производная вещественной степенной функции x^a?

[Divergence]

Рассмотрим $n$-ую производную степенной функции $x^m$, где $m$ - целое число большее $n$, тогда
$(x^m)^{(n)} = \frac{m!}{(m-n)!} x^{m-n}$ для $m>n$.

Рассмотрим $n$-ую производную степенной функции $x^a$, где $a$ - произвольное действительное число.
Можно вроде обобщить предыдущую формулу, написав

$(x^a)^{(n)} = \frac{\Gamma (a+1)}{\Gamma (a-n+1)} \, x^{a-n}$.

Однако гамма-функция не определена для нуля и отрицательных целых чисел. то есть формула верна не всегда.
Её нельзя применять для $a=n-1-k$, где $k=0,1,2,3,...$

Можно ли написать формулу производную степенной функции $x^a$ в общем виде для всех натуральных $n$ и вещественных $a$?
Заранее спасибо.

-- 23.03.2015, 13:20 --

Пробовал избавиться от неопределенности для $a=n-1-k$ при $k>n-1$,
используя $\Gamma (z+1)=z \, \Gamma (z)$, написав
$\frac{\Gamma (a+1)}{\Gamma (a-n+1)} = \frac{\Gamma (-k+n)}{\Gamma (-k)}= (-k+n-1)(-k+n-2). . . (-k)=$
$ =\frac{(-1)^n \, k!}{(k-n)!}=\frac{(-1)^n \Gamma (k+1)}{\Gamma (k-n+1)}$.
Однако если $a=n-1-k$ и $0 < k < n-1$, то опять надо как то по другому писать.

Неужто общей формулы на все случаи написать нельзя?

[gris]

А чем Вам не нравится запись в виде $\prod\limits_{k=0}^{n-1} (\alpha-k)\,\cdot x^{\alpha-n}$

[Divergence]

Тем что не очень удобна для производных нецелого порядка $\beta$, для которых пишут
$(x^{\alpha})^{(\beta)} = \frac{\Gamma (\alpha+1)}{\Gamma (\alpha-\beta+1)} \, x^{\alpha-\beta}$.
Непонятно, что будет аналогом произведения при замене $n$ на $\beta$.

[ИСН]

А что Вам не нравится? Обратную гамма-функцию в дырках можно доопределить по непрерывности, самым естественным образом.

[Divergence]

Что вы имеете в виде под обратной гамма-функцией?
Обратную функцию? А для нее разве есть аналитическое выражение или интегральная форма?

Вы предлагаете оставить формулу
$(x^{\alpha})^{(\beta)} = \frac{\Gamma (\alpha+1)}{\Gamma (\alpha-\beta+1)} \, x^{\alpha-\beta}$.
как есть и пользоваться для любых действительных $\alpha$ и $\beta$ (и/или $\beta=n$)?

[ИСН]

Под обратной я имею в виду не обратную функцию (с чего можно было так подумать? ), а единицу делить на гамма.

[svv]

Что бы Вы ни делали, Вам всё равно придётся в некоторых случаях поступать особым образом. Вопрос только в том, запишете ли Вы эту особость явно (имхо, наилучший вариант), или запихнёте в определение каких-нибудь функций.

[Divergence]

Жаль что нет красивой общей формулы на все случаи!
Думал, что я просто не знаю таковой. Спасибо за советы.