Диэлектрическая проницаемость "идеального газа".

[vas60005596]

Здравствуйте! Попалась одна задачка на тему "Диэлектрики".
На сколько отличается от единицы относительная диэлектрическая проницаемость «идеального газа», состоящего из большого числа проводящих шариков радиусом 803 мкм. Концентрация шариков 7909. Шарик рассматривать как индуцированный диэлектрический диполь.
Есть только идея применить формулу $P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E$. Только вот как находить $P$ и $E$ не ясно. И зачем в задаче дан радиус шарика? Чтобы найти объем его? Наведите на правильное решение, пожалуйста, или подскажите.
С уважением,
Василий.

[DimaM]

Надо рассмотреть, какой дипольный момент наводится на шарике в поле. Этот момент зависит от радиуса.
Дальше по концентрации находится дипольный момент единицы объема, а дальше ваша формула как раз применима.

[vas60005596]

DimaM в сообщении #994118 писал(а):

Надо рассмотреть, какой дипольный момент наводится на шарике в поле. Этот момент зависит от радиуса.
Дальше по концентрации находится дипольный момент единицы объема, а дальше ваша формула как раз применима.

Дипольный момент шара чего-то нигде нам не давали... (только классическое перемножение заряда на плечо).
$P=4\pi\varepsilon_0R^3E$, ведь так? Думаете лучше найти вывод, или можно готовой формулой воспользоваться?

[Pphantom]

Что-то мне не нравится концентрация, равная 7909. У нее размерность есть?

[vas60005596]

Pphantom в сообщении #994162 писал(а):

Что-то мне не нравится концентрация, равная 7909. У нее размерность есть?

Ой, забыл дописать. Метр в минус третьей:)

[svv]

vas60005596 в сообщении #994140 писал(а):

лучше найти вывод, или можно готовой формулой воспользоваться?

Направим ось $z$ по направлению внешнего электрического поля $\mathbf E_0$. Тогда его потенциал $\varphi_0=-E_0 z+\operatorname{const}$. Будем считать, что в центре шара начало координат и нулевой потенциал, тогда $\varphi_0=-E_0z$. На поверхности шара это будет (в сферических координатах) $\varphi_0=-E_0R\cos\theta$.

Под действием внешнего поля заряды на проводящем шаре перераспределяются так, чтобы суммарный потенциал был постоянным (нулевым). Отсюда потенциал, созданный этими зарядами («индуцированный»), равен на поверхности шара
$\tilde\varphi=-\varphi_0=E_0R\cos\theta$
Но, в отличие от $\varphi_0$, вне шара $\tilde\varphi$ должен иметь мультипольную структуру:
$\tilde\varphi(r,\theta, \psi)=\sum\limits_{n,m}\frac 1{r^{n+1}}P_n^m(\cos\theta)(a_{nm}\cos m\psi+b_{nm}\sin m\psi)$

В нашем случае, с учетом условия на поверхности,
$\tilde\varphi=E_0R^3\frac {\cos\theta}{r^2}$
Потенциал электрического диполя равен $-\mathbf p\cdot\operatorname{grad}\frac 1 r$, это совпадет с нашим выражением вне шара, если
$\mathbf p=\mathbf E_0 R^3$

Осторожно, СГС.

[vas60005596]

svv в сообщении #994217 писал(а):

vas60005596 в сообщении #994140 писал(а):

лучше найти вывод, или можно готовой формулой воспользоваться?

Направим ось $z$ по направлению внешнего электрического поля $\mathbf E_0$. Тогда его потенциал $\varphi_0=-E_0 z+\operatorname{const}$. Будем считать, что в центре шара начало координат и нулевой потенциал, тогда $\varphi_0=-E_0z$. На поверхности шара это будет (в сферических координатах) $\varphi_0=-E_0R\cos\theta$.

Под действием внешнего поля заряды на проводящем шаре перераспределяются так, чтобы суммарный потенциал был постоянным (нулевым). Отсюда потенциал, созданный этими зарядами («индуцированный»), равен на поверхности шара
$\tilde\varphi=-\varphi_0=E_0R\cos\theta$
Но, в отличие от $\varphi_0$, вне шара $\tilde\varphi$ должен иметь мультипольную структуру:
$\tilde\varphi(r,\theta, \psi)=\sum\limits_{n,m}\frac 1{r^{n+1}}P_n^m(\cos\theta)(a_{nm}\cos\psi+b_{nm}\sin\psi)$

В нашем случае, с учетом условия на поверхности,
$\tilde\varphi=E_0R^3\frac {\cos\theta}{r^2}$
Потенциал электрического диполя равен $-\mathbf p\cdot\operatorname{grad}\frac 1 r$, это совпадет с нашим выражением вне шара, если
$\mathbf p=\mathbf E_0 R^3$

Осторожно, СГС.

Благодарю:)

[svv]

Пожалуйста.
Подправил формулу для $\tilde\varphi(r,\theta, \psi)$ (пропустил $m$).