Раскраска правильного n-угольника (действия групп)

[Taras]

Сколько существует различных раскрасок правильного 12-угольника , используя 4 краски.
Ответ надо получить используя понятие действия группы на множество.
Что-то вроде такого:
$D_n\cdot Func(E_n,C)\to Func(E_n,C)$
где $D_n$-группа симметрий диедра, С-множество красок, $E_n$ - множество ребер 12-угольника, дальше нужно применить формулу Бернсайда, но я запутался
И продолжение я хотел бы узнать...
Особенно ценным для меня будут советы касающиеся книг, где можно прочесть о таких методах.[/math]

[enko]

С такими задачами не знаком, но заинтересовался, можно уточнить.
Закраска многоугольника это раскраска участков его площади или ребер?
В каком случае две раскраски считаются равными?

[Taras]

Раскрашивать нужно вершины .Но можно поставить задачу и с ребрами.А потом перейти в трехмерное пространство и там уже брать грани...
Две раскраски считаем равными, если одну можно получит с второй каким то движением с &D_n$
Суть моего вопроса-ето применение теории групп. Методами елементарной комбинаторике я могу ее решить.

[Someone]

Для каждого элемента группы подсчитываете количество раскрасок, инвариантных относительно этого элемента, потом применяете лемму Бернсайда.

[Taras]

"Для каждого элемента группы подсчитываете количество раскрасок, инвариантных относительно этого элемента,"
Можна поподробнее, как ето сделать?

[Someone]

Ну, что значит - "как"?
Например, возьмём единичный элемент группы. Он все вершины многоугольника оставляет на месте, поэтому все раскраски инвариантны. Поэтому их будет $4^{12}$ штук.
Возьмём элемент группы, который поворачивает многоугольник на $\frac 1{12}$ оборота. Легко видеть, что в инвариантной раскраске все вершины должны быть одного цвета, поэтому таких раскрасок будет $4$.
Так надо перебрать все $24$ элемента группы диэдра. Все $24$ полученных числа надо сложить и поделить на число элементов в группе.
Если немного подумать и сообразить, какие элементы группы дают одинаковое число инвариантных раскрасок, то можно сэкономить на вычислениях.

[Taras]

Cпасибо, понял. И огромное спасибо за линк..А где еще можна прочитать о методах Пойи?