2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:14 


02/08/09
43
Украина
Здравствуйте!

Возникла проблема с нахождением интеграла $$\int{\frac{dx}{x^3+x^8}}$$

Я попытался разложить на элементарные дроби: $$\int{\frac{dx}{x^3+x^8}}=\int{\frac{dx}{x^3}}-\int{\frac{x^2 dx}{1+x^5}}=\int{\frac{dx}{x^3}}-\int{\frac{x^2 dx}{(x-e^{i\frac{\pi}{5}})(x-e^{i\frac{3\pi}{5}})(x-e^{i\pi)}(x-e^{-i\frac{\pi}{5}})(x-e^{-i\frac{3\pi}{5}})}}$$

Но вот что дальше делать не пойму. Нужно последнее подыинтегральное выражение разлагать на простые дроби?
Может быть существует какая-либо замена переменной?
ВольфрамАльфа выдает совсем уж страшный ответ.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Альфа, скорее всего, права, а что касается интеграла... Вы уверены, что он Вам действительно нужен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:20 


02/08/09
43
Украина
Пока нужен. Даже интересно, казалось бы, выражение простое, а ответ страшный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:26 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Это ещё что... Бывает, выражение простое, а ответа вообще нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:30 


02/08/09
43
Украина
Ну, это я знаю. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
А что иногда интеграл в элементарных функциях не берётся, но результат найти всё-таки можно - тоже знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:35 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
12597
Кронштадт
dimanet в сообщении #993598 писал(а):
Но вот что дальше делать не пойму. Нужно последнее подыинтегральное выражение разлагать на простые дроби?
Может быть существует какая-либо замена переменной?
Можно попробовать гипертригонометрическую замену, но не факт, что поможет. Ответ действительно страшненький и неупрощаемый, так что, скорее всего, радикально ситуацию никакая замена не улучшит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:40 


02/08/09
43
Украина
ИСН в сообщении #993616 писал(а):
А что иногда интеграл в элементарных функциях не берётся, но результат найти всё-таки можно - тоже знаете?


Такое тоже знакомо. Можно ведь в ряд разложить и почленно проинтегрировать и посмотреть к чему новый ряд сходится. Я правильно вас понял? Ну, можно еще численно, если пределы заданы.

-- Сб мар 21, 2015 16:41:03 --

Pphantom в сообщении #993617 писал(а):
dimanet в сообщении #993598 писал(а):
Но вот что дальше делать не пойму. Нужно последнее подыинтегральное выражение разлагать на простые дроби?
Может быть существует какая-либо замена переменной?
Можно попробовать гипертригонометрическую замену, но не факт, что поможет. Ответ действительно страшненький и неупрощаемый, так что, скорее всего, радикально ситуацию никакая замена не улучшит.


Понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:43 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Можно также назвать то, что получится, функцией ... (здесь Ваша фамилия в родительном падеже), придумать удобное обозначение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 16:46 


02/08/09
43
Украина
svv в сообщении #993624 писал(а):
Можно также назвать то, что получится, функцией ... (здесь Ваша фамилия в родительном падеже), придумать удобное обозначение.

Это вы о данном интеграле? А можно написать студенческую статью на тему интегралов вида $\int\frac{dx}{x^n+x^m}$? Такое задание тоже видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 17:07 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Мне кажется, не стоит этого делать. Как всегда в тех ситуациях, когда 1) принципиальных проблем нет, и 2) вся сложность может быть описана как запутанность и загромождённость. Могу и ошибаться — вдруг придумаете более лёгкий способ записи, а он кому-нибудь пригодится. Или преподаватель скажет: «молодец!».

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение21.03.2015, 17:09 


02/08/09
43
Украина
svv в сообщении #993641 писал(а):
Мне кажется, не стоит этого делать. Как всегда в тех ситуациях, когда 1) принципиальных проблем нет, и 2) вся сложность может быть описана как запутанность и загромождённость. Могу и ошибаться — вдруг придумаете более лёгкий способ записи, а он кому-нибудь пригодится. Или преподаватель скажет: «молодец!».


Понятно. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение23.03.2015, 18:15 
Заслуженный участник


03/01/09
1182
москва
Разложим функцию на простые дроби: $F(x)=\dfrac {x^2}{x^5+1}=\sum \limits _{k=1}^5\dfrac {A_k}{x-\alpha _k}$, где $\alpha _k$ - корни 5-й степени из -1.
Тогда неопределенные коэффициенты находим по формуле: $A_k=\lim \limits_{x\to \alpha _k}(x-\alpha _k)F(x)=\dfrac 1{5\alpha _k^2}$. После подстановки коэффициентов $A_k$ в разложение на простые дроби нужно еще объединить комплексно сопряженные выражения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение24.03.2015, 12:58 
Аватара пользователя


09/08/11
130
СПб
Разложение на простейшие дроби в действительной области:
$$\frac{x^2}{x^5+1}=-\frac{1}{20}\frac{1}{1+x}+\frac{\sqrt{5}+1}{40}\frac{x+1}{x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}x+1}
-\frac{\sqrt{5}-1}{40}\frac{x+1}{x^2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}x+1}.$$ с последующим выделением полного квадрата в знаменателях, приводит к wolframalphaвскому ответу (или эквивалентной логарифмической форме).
Исходная идея - разложение полинома 4-го порядка $x^4-x^3+x^2-x+1=\left(x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}x+1\right)\left(x^2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}x+1\right)$. Чтобы последняя формула не с неба упала: берем корни уравнения $x^5+1=0$: $x_n=e^{i\pi/5}e^{2\pi i n /5}$, $n=$0,1,2,3,4, а затем попарно объединяем комплексно-сопряженные сомножители $(x-x_0)(x-x_4)$ и $(x-x_1)(x-x_3)$, и учитываем в заключение тот факт, что $\cos 36^{\rm o}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$, a $\sin 18^{\rm o}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)
Сообщение24.03.2015, 16:01 
Заслуженный участник


03/01/09
1182
москва
Коэффициент перед $\dfrac 1{x+1}$ должен быть $\frac 15$, остальные коэффициенты не проверял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group