Помогите взять интеграл 1/(x^3+x^8)

[dimanet]

Здравствуйте!

Возникла проблема с нахождением интеграла

$$\int{\frac{dx}{x^3+x^8}}$$

Я попытался разложить на элементарные дроби:

$$\int{\frac{dx}{x^3+x^8}}=\int{\frac{dx}{x^3}}-\int{\frac{x^2 dx}{1+x^5}}=\int{\frac{dx}{x^3}}-\int{\frac{x^2 dx}{(x-e^{i\frac{\pi}{5}})(x-e^{i\frac{3\pi}{5}})(x-e^{i\pi)}(x-e^{-i\frac{\pi}{5}})(x-e^{-i\frac{3\pi}{5}})}}$$

Но вот что дальше делать не пойму. Нужно последнее подыинтегральное выражение разлагать на простые дроби?
Может быть существует какая-либо замена переменной?
ВольфрамАльфа выдает совсем уж страшный ответ.

Спасибо.

[ИСН]

Альфа, скорее всего, права, а что касается интеграла... Вы уверены, что он Вам действительно нужен?

[dimanet]

Пока нужен. Даже интересно, казалось бы, выражение простое, а ответ страшный.

[svv]

Это ещё что... Бывает, выражение простое, а ответа вообще нет.

[dimanet]

Ну, это я знаю.

[ИСН]

А что иногда интеграл в элементарных функциях не берётся, но результат найти всё-таки можно - тоже знаете?

[Pphantom]

dimanet в сообщении #993598 писал(а):

Но вот что дальше делать не пойму. Нужно последнее подыинтегральное выражение разлагать на простые дроби?
Может быть существует какая-либо замена переменной?

Можно попробовать гипертригонометрическую замену, но не факт, что поможет. Ответ действительно страшненький и неупрощаемый, так что, скорее всего, радикально ситуацию никакая замена не улучшит.

[dimanet]

ИСН в сообщении #993616 писал(а):

А что иногда интеграл в элементарных функциях не берётся, но результат найти всё-таки можно - тоже знаете?

Такое тоже знакомо. Можно ведь в ряд разложить и почленно проинтегрировать и посмотреть к чему новый ряд сходится. Я правильно вас понял? Ну, можно еще численно, если пределы заданы.

-- Сб мар 21, 2015 16:41:03 --

Pphantom в сообщении #993617 писал(а):

dimanet в сообщении #993598 писал(а):

Но вот что дальше делать не пойму. Нужно последнее подыинтегральное выражение разлагать на простые дроби?
Может быть существует какая-либо замена переменной?

Можно попробовать гипертригонометрическую замену, но не факт, что поможет. Ответ действительно страшненький и неупрощаемый, так что, скорее всего, радикально ситуацию никакая замена не улучшит.

Понятно, спасибо.

[svv]

Можно также назвать то, что получится, функцией ... (здесь Ваша фамилия в родительном падеже), придумать удобное обозначение.

[dimanet]

svv в сообщении #993624 писал(а):

Можно также назвать то, что получится, функцией ... (здесь Ваша фамилия в родительном падеже), придумать удобное обозначение.

Это вы о данном интеграле? А можно написать студенческую статью на тему интегралов вида $\int\frac{dx}{x^n+x^m}$? Такое задание тоже видел.

[svv]

Мне кажется, не стоит этого делать. Как всегда в тех ситуациях, когда 1) принципиальных проблем нет, и 2) вся сложность может быть описана как запутанность и загромождённость. Могу и ошибаться — вдруг придумаете более лёгкий способ записи, а он кому-нибудь пригодится. Или преподаватель скажет: «молодец!».

[dimanet]

svv в сообщении #993641 писал(а):

Мне кажется, не стоит этого делать. Как всегда в тех ситуациях, когда 1) принципиальных проблем нет, и 2) вся сложность может быть описана как запутанность и загромождённость. Могу и ошибаться — вдруг придумаете более лёгкий способ записи, а он кому-нибудь пригодится. Или преподаватель скажет: «молодец!».

Понятно. Спасибо.

[mihiv]

Разложим функцию на простые дроби: $F(x)=\dfrac {x^2}{x^5+1}=\sum \limits _{k=1}^5\dfrac {A_k}{x-\alpha _k}$, где $\alpha _k$ - корни 5-й степени из -1.
Тогда неопределенные коэффициенты находим по формуле: $A_k=\lim \limits_{x\to \alpha _k}(x-\alpha _k)F(x)=\dfrac 1{5\alpha _k^2}$. После подстановки коэффициентов $A_k$ в разложение на простые дроби нужно еще объединить комплексно сопряженные выражения.

[AlexValk]

Разложение на простейшие дроби в действительной области:

$$\frac{x^2}{x^5+1}=-\frac{1}{20}\frac{1}{1+x}+\frac{\sqrt{5}+1}{40}\frac{x+1}{x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}x+1} -\frac{\sqrt{5}-1}{40}\frac{x+1}{x^2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}x+1}.$$

с последующим выделением полного квадрата в знаменателях, приводит к wolframalphaвскому ответу (или эквивалентной логарифмической форме).
Исходная идея - разложение полинома 4-го порядка $x^4-x^3+x^2-x+1=\left(x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}x+1\right)\left(x^2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}x+1\right)$. Чтобы последняя формула не с неба упала: берем корни уравнения $x^5+1=0$: $x_n=e^{i\pi/5}e^{2\pi i n /5}$, $n=$0,1,2,3,4, а затем попарно объединяем комплексно-сопряженные сомножители $(x-x_0)(x-x_4)$ и $(x-x_1)(x-x_3)$, и учитываем в заключение тот факт, что $\cos 36^{\rm o}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$, a $\sin 18^{\rm o}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

[mihiv]

Коэффициент перед $\dfrac 1{x+1}$ должен быть $\frac 15$, остальные коэффициенты не проверял.