Излучение абсолютно чёрного тела (запутался с формулами)

[Atom001]

1) Постоянная Стефана-Больцмана
Встретил две формулы: $\sigma=\frac{2\pi^5k^4}{15h^3c^2}$ и $\sigma=\frac{8\pi^5k^4}{15h^3c^3}$. Посчитал по обоим формулам, выяснил, что верной является первая. А что значит вторая (просто она встречается не единажды)?

2) Закон смещения Вина
Опять же две формулы: $\lambda_{max}=\frac{b}{T}$ и $\nu_{max}=\frac{\alpha kT}{h}$. Эти формулы не уживаются вместе, если учесть, что $\lambda=\frac{c}{\nu}$. Какой формуле верить?

3) Закон излучения Вина
$u_{\nu} = C_1 \nu^3 e^{-C_2\frac{\nu}{T}}$
В Википедии говорится, что $C_1=\frac{2\pi h}{c^3}$, а в журнале "Квант" $C_1=\frac{8\pi h}{c^3}$. Что вообще за путаница с этими 2 и 8?

4) Закон Релея-Джинса
Часто закон записывается так: $f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2}$. Что в нём означает $\omega$? $\omega=2\pi\nu$? Если так, то опять таки это не согласуется с "Квантом". Там написано: $f(\nu)=\frac{8\pi \nu^2 kT}{c^3}$. Почему такие разные формулы?

[Munin]

Ссылки на источники дайте, чтобы удобней было разбираться.

По поводу 2: это связано с тем, что спектральные плотности энергии излучения по частоте и по длине волны - вещи разные. Это не одна и та же функция, которую можно просто заменить с одной переменной на другую. Их надо пересчитывать. Не по формуле $\lambda=c/\nu,$ а по дифференциалу от неё: по формуле $d\lambda=-c\,d\nu/\nu^2.$ Поэтому график функции умножается на переменный коэффициент $\nu^2,$ и максимум сдвигается: там, где он был, там функция стала меньше, а рядом, где коэффициент больше, - там функция стала больше.

По поводу 1 и 3: кажется, это связано с различиями между излучением плоской площадки, и излучением, равномерным по всем направлениям (например, внутри сферы). Там как раз фигурировали коэффициенты $\pi$ и $4\pi,$ вот и вылезает разница на четвёрку.

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #993581 писал(а):

1) Постоянная Стефана-Больцмана

Вторая на самом деле называется "постоянной Стефана" (без Больцмана) или "радиационной постоянной"/"постоянной излучения" ($a$) и входит в выражение, связывающее плотность энергии равновесного фотонного газа $u$ и его температуру $T$: $u = a T^4$. Постоянная Стефана-Больцмана выражается через нее как $\sigma = \frac{a\, c}{4}$.

Atom001 в сообщении #993581 писал(а):

2) Закон смещения Вина

Тут Munin уже все написал, можно только присоединиться.

Atom001 в сообщении #993581 писал(а):

3) Закон излучения Вина
$u_{\nu} = C_1 \nu^3 e^{-C_2\frac{\nu}{T}}$
В Википедии говорится, что $C_1=\frac{2\pi h}{c^3}$, а в журнале "Квант" $C_1=\frac{8\pi h}{c^3}$. Что вообще за путаница с этими 2 и 8?

Журнал "Квант" прав - это тоже плотность энергии фотонного газа, но еще и в единичном диапазоне частот. В Википедии, похоже, получилась сборная солянка из выражений для интенстивности и плотности энергии, неправильная и для того, и для другого.

Atom001 в сообщении #993581 писал(а):

4) Закон Релея-Джинса

Да, $\omega$ - это циклическая частота. Рассогласование опять-таки связано с тем, что первая формула - это приближение Рэлея-Джинса для интенсивности, а вторая - для плотности энергии в единичном диапазоне частот.

[Atom001]

Munin в сообщении #993600 писал(а):

Ссылки на источники дайте, чтобы удобней было разбираться.

В этом, думаю, уже нет необходимости, так как вопросы исчерпаны.

Munin в сообщении #993600 писал(а):

По поводу 2: это связано с тем, что спектральные плотности энергии излучения по частоте и по длине волны - вещи разные. Это не одна и та же функция, которую можно просто заменить с одной переменной на другую. Их надо пересчитывать. Не по формуле $\lambda=c/\nu,$ а по дифференциалу от неё: по формуле $d\lambda=-c\,d\nu/\nu^2.$ Поэтому график функции умножается на переменный коэффициент $\nu^2,$ и максимум сдвигается: там, где он был, там функция стала меньше, а рядом, где коэффициент больше, - там функция стала больше.

Ясно. Спасибо!

Pphantom, спасибо!

[Munin]

Atom001 в сообщении #993629 писал(а):

В этом, думаю, уже нет необходимости, так как вопросы исчерпаны.

А я бы почитал, что там в "Кванте". Где в "Кванте"?

[Atom001]

Munin в сообщении #993664 писал(а):

А я бы почитал, что там в "Кванте". Где в "Кванте"?

№1 1970 года, самая первая статья.

[Munin]

Да, посмотрел. И то, что Pphantom называет "интенсивностью излучения" и "плотностью энергии" - это по сути то же, что я упоминал: разница между плоской площадкой, излучающей в пустоту, и сферой, излучающей внутрь себя, и равномерно заполненной энергией определённой плотности. (См. в "Кванте" рис. на стр. 10, http://kvant.mccme.ru/1970/01/rasskaz_o_kvante.htm )

[Pphantom]

Munin в сообщении #993989 писал(а):

И то, что Pphantom называет "интенсивностью излучения" и "плотностью энергии"

Ну, справедливости ради, это не "Pphantom так называет", это общепринятая терминология. В конце концов, у этих величин размерности разные.

[Munin]

Да. Пардон. Но кроме размерности, геометрическое отличие именно такое.

[Pphantom]

Munin в сообщении #994041 писал(а):

Но кроме размерности, геометрическое отличие именно такое.

Да, конечно.