Базис ортогонального дополнения

[Viktor92]

Добрый день. Никак не могу разобраться вот с чем: пусть в евклидовом пространстве $E_n$ есть подпространство, заданное системой уравнений $A\mathbf{\xi}=0$, требуется найти базис его ортогонального дополнения. Я решал так: находил фундаментальную матрицу $F_1$ системы (базис подпространства) и из условия, что все вектора в ортогональном дополнении при скалярном умножении на вектора из подпространства будут давать нуль, поэтому можно составить систему $F^T\eta=0$ , фундаментальная матрица этой системы $F_2$ и будет базис в ортогональном дополнении, вот только оказывается всё гораздо проще и ничего решать не надо, пусть $\text{Rg}A=r$, тогда первые $r$ строк матрицы $A$ и будут базисом в ортогональном дополнении, вот этого никак я понять не могу.

[svv]

Посмотрите на $i$-е уравнение $\sum\limits_k a_{ik}x_k=0$ как на равенство нулю скалярного произведения двух векторов:
$(\mathbf a_i, \mathbf x)=0$,
причем координаты $\mathbf a_i$ равны $a_{ik}$, а координаты $\mathbf x$ равны $x_k$.

Viktor92 в сообщении #993146 писал(а):

пусть $\text{Rg}A=r$, тогда первые $r$ строк матрицы $A$ и будут базисом в ортогональном дополнении

Может быть, что и не первые. Например, первое уравнение может совпадать со вторым.

[Brukvalub]

Я бы начал с вопроса: а в каком базисе происходят все координатные шаманства? Вдруг это не ортонормированный базис?

[Viktor92]

svv
Спасибо, оказывается всё элементарно!

Brukvalub в сообщении #993168 писал(а):

Я бы начал с вопроса: а в каком базисе происходят все координатные шаманства? Вдруг это не ортонормированный базис?

Тут всё в порядке, базис ортонормированный, забыл упомянуть об этом.

[Viktor92]

А ещё можете проверить, насколько я адекватно решил следующую похожую задачу, но уже не для ортонормированного базиса:
Подпространство $L$ задано в базисе $\mathbf{e}$ с матрицей Грама $G$ системой линейных уравнений $A\xi=0$. Найти базис в ортогональном дополнении $L_d$ .
Решение: пусть есть некоторый вектор $\mathbf{x}\in L$ с координатным столбцом $\xi$, и вектор $\mathbf{y}\in L_d$ со столбцом $\eta$. Для таких векторов скалярное произведение $(\mathbf{x},\mathbf{y})=\xi^T G \eta=0$. Приравняем $A\xi=\xi^T G \eta$, откуда $A\xi=(G\eta)^T\xi$ "сократим" на координатный столбец $\xi$ (вот здесь меня смущает то, что после сокращения приравнивается прямоугольная матрица к вектор-строке) и получаем $\eta=G^{-1}A^T$, столбцы этой матрицы есть базис в $L_d$, с ответами это сходится, но получено как-то искусственно...

[Brukvalub]

Viktor92 в сообщении #993230 писал(а):

А ещё можете проверить, насколько я адекватно решил следующую похожую задачу, но уже не для ортонормированного базиса:
Подпространство $L$ задано в базисе $\mathbf{e}$ с матрицей Грама $G$ системой линейных уравнений $A\xi=0$. Найти базис в ортогональном дополнении $L_d$ .
Решение: пусть есть некоторый вектор $\mathbf{x}\in L$ с координатным столбцом $\xi$, и вектор $\mathbf{y}\in L_d$ со столбцом $\eta$. Для таких векторов скалярное произведение $(\mathbf{x},\mathbf{y})=\xi^T G \eta=0$. Приравняем $A\xi=\xi^T G \eta$...

Вот в этом месте логика кончилась.

[svv]

Как $A\xi$ представить в виде $(\text{нечто})G\xi$ ?

[Viktor92]

Может так $A\xi=AG^{-1}G \xi=0$, только потом что, приравнять $\eta^TG\xi=0$? Опять , как то не логично получается.

[svv]

Viktor92 в сообщении #993536 писал(а):

Может так $A\xi=AG^{-1}G \xi=0$

Совершенно верно. Матрица Грама для базисных векторов невырождена, всё в порядке.

Теперь обозначим $AG^{-1}$ через $B$, получим $BG\xi=0$. Если $i$-ю строку матрицы $B$ понимать как $i$-й координатный вектор-строку $b^\top_i$, то равенство $BG\xi=0$ — это ...

[Viktor92]

Это базис в ортогональном дополнении подпространства и $B^T=(AG^{-1})^T=G^{-1}A^T$.

[svv]

Да, потому что если $G$ — матрица Грама, то другая запись $BG\xi=0$ — это $(\mathbf b_i, \mathbf x)=0$.

Оговорка: это базис, если уравнения линейно независимы.