2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Базис ортогонального дополнения
Сообщение20.03.2015, 18:40 


10/09/14
284
Добрый день. Никак не могу разобраться вот с чем: пусть в евклидовом пространстве $E_n$ есть подпространство, заданное системой уравнений $A\mathbf{\xi}=0$, требуется найти базис его ортогонального дополнения. Я решал так: находил фундаментальную матрицу $F_1$ системы (базис подпространства) и из условия, что все вектора в ортогональном дополнении при скалярном умножении на вектора из подпространства будут давать нуль, поэтому можно составить систему $F^T\eta=0$ , фундаментальная матрица этой системы $F_2$ и будет базис в ортогональном дополнении, вот только оказывается всё гораздо проще и ничего решать не надо, пусть $\text{Rg}A=r$, тогда первые $r$ строк матрицы $A$ и будут базисом в ортогональном дополнении, вот этого никак я понять не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение20.03.2015, 19:12 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Посмотрите на $i$-е уравнение $\sum\limits_k a_{ik}x_k=0$ как на равенство нулю скалярного произведения двух векторов:
$(\mathbf a_i, \mathbf x)=0$,
причем координаты $\mathbf a_i$ равны $a_{ik}$, а координаты $\mathbf x$ равны $x_k$.
Viktor92 в сообщении #993146 писал(а):
пусть $\text{Rg}A=r$, тогда первые $r$ строк матрицы $A$ и будут базисом в ортогональном дополнении
Может быть, что и не первые. Например, первое уравнение может совпадать со вторым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение20.03.2015, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13015
Москва
Я бы начал с вопроса: а в каком базисе происходят все координатные шаманства? Вдруг это не ортонормированный базис? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение20.03.2015, 20:22 


10/09/14
284
svv
Спасибо, оказывается всё элементарно!
Brukvalub в сообщении #993168 писал(а):
Я бы начал с вопроса: а в каком базисе происходят все координатные шаманства? Вдруг это не ортонормированный базис?

Тут всё в порядке, базис ортонормированный, забыл упомянуть об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение20.03.2015, 22:26 


10/09/14
284
А ещё можете проверить, насколько я адекватно решил следующую похожую задачу, но уже не для ортонормированного базиса:
Подпространство $L$ задано в базисе $\mathbf{e}$ с матрицей Грама $G$ системой линейных уравнений $A\xi=0$. Найти базис в ортогональном дополнении $L_d$ .
Решение: пусть есть некоторый вектор $\mathbf{x}\in L$ с координатным столбцом $\xi$, и вектор $\mathbf{y}\in L_d$ со столбцом $\eta$. Для таких векторов скалярное произведение $(\mathbf{x},\mathbf{y})=\xi^T G \eta=0$. Приравняем $A\xi=\xi^T G \eta$, откуда $A\xi=(G\eta)^T\xi$ "сократим" на координатный столбец $\xi$ (вот здесь меня смущает то, что после сокращения приравнивается прямоугольная матрица к вектор-строке) и получаем $\eta=G^{-1}A^T$, столбцы этой матрицы есть базис в $L_d$, с ответами это сходится, но получено как-то искусственно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение20.03.2015, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13015
Москва
Viktor92 в сообщении #993230 писал(а):
А ещё можете проверить, насколько я адекватно решил следующую похожую задачу, но уже не для ортонормированного базиса:
Подпространство $L$ задано в базисе $\mathbf{e}$ с матрицей Грама $G$ системой линейных уравнений $A\xi=0$. Найти базис в ортогональном дополнении $L_d$ .
Решение: пусть есть некоторый вектор $\mathbf{x}\in L$ с координатным столбцом $\xi$, и вектор $\mathbf{y}\in L_d$ со столбцом $\eta$. Для таких векторов скалярное произведение $(\mathbf{x},\mathbf{y})=\xi^T G \eta=0$. Приравняем $A\xi=\xi^T G \eta$...
Вот в этом месте логика кончилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение20.03.2015, 23:26 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Как $A\xi$ представить в виде $(\text{нечто})G\xi$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение21.03.2015, 14:20 


10/09/14
284
Может так $A\xi=AG^{-1}G \xi=0$, только потом что, приравнять $\eta^TG\xi=0$? Опять , как то не логично получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение21.03.2015, 15:08 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Viktor92 в сообщении #993536 писал(а):
Может так $A\xi=AG^{-1}G \xi=0$
Совершенно верно. Матрица Грама для базисных векторов невырождена, всё в порядке.

Теперь обозначим $AG^{-1}$ через $B$, получим $BG\xi=0$. Если $i$-ю строку матрицы $B$ понимать как $i$-й координатный вектор-строку $b^\top_i$, то равенство $BG\xi=0$ — это ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение21.03.2015, 20:38 


10/09/14
284
Это базис в ортогональном дополнении подпространства и $B^T=(AG^{-1})^T=G^{-1}A^T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базис ортогонального дополнения
Сообщение21.03.2015, 20:46 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Да, потому что если $G$ — матрица Грама, то другая запись $BG\xi=0$ — это $(\mathbf b_i, \mathbf x)=0$.

Оговорка: это базис, если уравнения линейно независимы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group