Минимальная локально выпуклая топология

[AGu]

В дальнейшем ОЛВТ := «отделимая локально выпуклая топология».

Пусть $X$ — вещественное векторное пространство.
ОЛВТ на $X$ назовем минимальной, если она минимальна среди ОЛВТ на $X$
(т.е. на $X$ нет более слабой ОЛВТ).

(1) Существует ли минимальная ОЛВТ на пространстве размерности $|\mathbb N|$?
(2) Существует ли минимальная ОЛВТ на пространстве размерности $|\mathbb R|$?

[AGu]

Вскоре я, пожалуй, приведу решения.
(Начну с простых ответов «да» или «нет».)

[AGu]

Ответы: (1) — нет, не существует; (2) — да, существует.

[AGu]

Подзадача-подсказка к задаче (1), симпатичная сама по себе.

Пусть $Z=\mathbb R^{\mathbb N}$ — векторное пространство всех вещественных последовательностей,
$X\subset Z$ — векторное подпространство всех финитных (зануляющихся) последовательностей,
$Y\subseteq Z$ — произвольное векторное подпространство.
Рассмотрим стандартную двойственность $\langle x,y\rangle = \sum_{n\in\mathbb N}x(n)y(n)$
и соответствующую слабую топологию $\sigma(X,Y)$ на $X$.

Для любого $n\in\mathbb N$ положим

$\bold e_n=\chi\strut_{\{n\}}=(0,\dots,0,\underset{(n)}1,0,0,\dots)\in X$,
$X_n=\operatorname{lin}\{\bold e_1,\dots,\bold e_n\}=\{x\in X:(\forall\,i>n)\ x(i)=0\}$,
$P_n\colon Z\to X_n,\ P_nz=\bigl(z(1),\dots,z(n),0,0,\dots\bigr)$.

Последовательность элементов $y_n\in Y$ назовем базовой, если для всех $n\in\mathbb N$
$P_ny_n=\bold e_n$, т.е. $y_n(1)=\cdots=y_n(n-1)=0$ и $y_n(n)=1$.

Лемма. Следующие утверждения равносильны:

(a) топология $\sigma(X,Y)$ отделима;
(b) существует базовая последовательность элементов $Y$;
(c) $Y$ плотно в $Z$ относительно (тихоновской) топологии поточечной сходимости;
(d) для любого $0\ne x\in X$ существует $y\in Y$ такой, что $\langle x,y\rangle\ne0$;
(e) $P_n[Y]=X_n$ для всех $n\in\mathbb N$;
(f) для любого $n\in\mathbb N$, любых попарно разных $i_1,\dots,i_n\in\mathbb N$ и любых $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb R$
существует такой элемент $y\in Y$, что $y(i_1)=\lambda_1$, ..., $y(i_n)=\lambda_n$.

(Если публика не возражает, я не буду приводить решение этой подзадачи.
Она хоть и симпатичная, но простенькая.)

Задача (1) сводится к доказательству того факта, что среди подпространств $Y\subseteq Z$,
обладающих любым из свойств (a)—(f), нет минимального по включению.

Думаю, после сделанной подсказки задача (1) становится более приятной,
так как теперь можно выбрать по вкусу любую из 36 эквивалентных задач.

[AGu]

Я тут пообщался кое с кем в ЛС и выяснил, что такие словосочетания, как «локально выпуклое пространство» или «слабая топология», обладают отпугивающим эффектом. В этой связи я предлагаю забыть про исходную задачу (1) и поразмыслить над задачей, сформулированной в конце предыдущего сообщения:

Доказать, что среди подпространств $Y\subseteq Z$, обладающих любым из свойств (a)—(f), нет минимального по включению.

Пугающее свойство (a) тоже можно с чистой совестью исключить из рассмотрения. Выберите любое из оставшихся — например, (b). В результате получится самая обычная олимпиадная задача, доступная любому (умному) студенту.

[AGu]

Мне прислали в ЛС решение задачи (1). Решение не самое короткое, но безупречное. Автор решения категорически против его опубликования, поэтому я ограничусь этим сообщением. Надеюсь, автору это будет приятно. (Ну а я через какое-то время приведу здесь другое решение.)

[AGu]

Пожалуй, пора закрыть и эту тему.

Пусть подпространство $Y\subseteq Z$ удовлетворяет (b). Мы уменьшим $Y$, сохранив (b).
Согласно (b) в $Y$ имеется базовая последовательность: $y_n\in Y$, $P_ny_n=\bold e_n$.
Поскольку $y_n$ линейно независимы, на $Y$ есть линейный функционал $f$ такой, что $f(y_n)=1$ для всех $n\in\mathbb N$.
Положим $Y_0:=\ker f$. Ясно, что $Y_0\subsetneqq Y$ (так как, например, $y_n\notin Y_0$).
Осталось заметить, что разности $y_n-y_{n+1}$ образуют базовую последовательность элементов $Y_0$.
Действительно, $y_n-y_{n+1}\in Y_0$, так как $f(y_n-y_{n+1})=f(y_n)-f(y_{n+1})=1-1=0$,
и, кроме того, $P_n(y_n-y_{n+1})=P_ny_n-P_ny_{n+1}=\bold e_n$,
поскольку $P_ny_n=\bold e_n$ и $P_ny_{n+1}=P_nP_{n+1}y_{n+1}=P_n\bold e_{n+1}=0$.

Таким образом, вопрос (1) закрыт.
Для закрытия (2) достаточно привести пример минимальной ОЛВТ на $Z$.
Едва ли неожиданным будет тот факт, что на эту роль подходит слабая топология $\sigma(Z,X)$.
(Если потребуются пояснения — дайте знать.)