2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 19:29 
Рассмотрим ДУ:
$$
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2}y(x)(y^2(x)-1)\,\dfrac{\dfrac{dV(x)}{dx}}{V(x)}.
$$
Разделяем переменные:
$$
\dfrac{2dy}{y(y^2-1)} = \dfrac{d(V)}{V}.
$$
Интегрируем:
$$
\ln\left|\dfrac{y^2-1}{y^2}\right| = \ln\left|CV\right|.
$$
Мне нужно получить $y^2$ как функцию от $x$ в явном виде. Вопрос, что дальше делать с этими логарифмами и модулями? Как снять их корректно?
Сначала я рассуждала так. Снимем знак логарифма:
$$
\left|\dfrac{y^2-1}{y^2}\right| = \left|CV\right|.
$$
Пусть $y^2>1$. Тогда
$$
y^2=\dfrac{1}{1-|CV|}.
$$
Теперь пусть $y^2<1$. Тогда
$$
y^2 =\dfrac{1}{1+|CV|}.
$$
Оба выражения являются решением исходного уравнения.
Но ведь функции
$$
y^2=\dfrac{1}{1-CV}\quad\text{и}\quad y^2=\dfrac{1}{1+CV}
$$
также являются решением исходного уравнения, что легко проверить подстановкой. Но ведь если $V(x)$ меняет знак при некотором $x$ эти два решения ведут себя иначе, чем решения, приведенные выше.
Никак не могу понять, как же все-таки правильно записать общее решение для этого ДУ.

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 19:52 
Аватара пользователя
Anna from Svetl в сообщении #992655 писал(а):
функции
$$ y^2=\dfrac{1}{1-CV}\quad\text{и}\quad y^2=\dfrac{1}{1+CV}$$

Ничем не отличаются друг от друга, кроме обозначения константы.

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 19:55 
Да бог с ней, с константой. Меня интересует отличие этого решения от того решения, где $V$ находится под знаком модуля.

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 19:57 
Аватара пользователя
Разберитесь для начала с уравнением попроще: $y'=y/x$. Как здесь снять модуль понятно?

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 20:04 
В этом уравнении просто снимают модули с обеих сторон уравнения во всех решениях, которые я видела. Хотя почему, например, нельзя записать
$$
y=C|x|,
$$
мне непонятно.

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 20:08 
Аватара пользователя
Потому что обычно хотят видеть в качестве решения дифференцируемую функцию.
Почему Вас смущают аналогичные действия для Вашего уравнения?

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 20:15 
Даже если в качестве решения хотят видеть дифференцируемую функцию, это же не отменяет того, что $y=C|x|$ --- решение уравнения? Вы ведь не будете отрицать, что и и решение с модулем, и решение без модуля являются решениями данного уравнения. Но ведь общее решение должно быть одно, разве нет? И ведут себя эти решения по разному.

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 20:44 
Аватара пользователя
Ну как, при $x=0$ возникают проблемы с подстановкой $y=C|x|$ в уравнение. Если $x=0$ выбросить, то получится две области, и решения в этих областях не обязаны как-то коррелировать в плане знака и величины $C$. Тогда и $y=2x$ при $x>0$, $y=-x$ при $x<0$ -- решение.

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 21:46 
А исходя из чего тогда делать выбор: с модулем иди без модуля решения?

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 21:58 
Аватара пользователя
Если Вы не в окрестности нуля, то модуль не нужен, все варианты знаков вбирает в себя константа.
А если в окрестности нуля, то из дифференцируемых функций будет только решение без модуля.
Так что в Вашей задаче я бы убрал модули как только они появились, с оговоркой о знаке $C$.

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 23:08 
Спасибо за помощь.

 
 
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение20.03.2015, 01:35 
Аватара пользователя
Anna from Svetl в сообщении #992655 писал(а):
$$\dfrac{2dy}{y(y^2-1)} = \dfrac{d(V)}{V}$$
Это уравнение можно без логарифмов и модулей привести к виду
$d\left(\dfrac{y^2-1}{y^2V}\right)=0$

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group