2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 19:29 


05/10/10
141
Рассмотрим ДУ:
$$
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2}y(x)(y^2(x)-1)\,\dfrac{\dfrac{dV(x)}{dx}}{V(x)}.
$$
Разделяем переменные:
$$
\dfrac{2dy}{y(y^2-1)} = \dfrac{d(V)}{V}.
$$
Интегрируем:
$$
\ln\left|\dfrac{y^2-1}{y^2}\right| = \ln\left|CV\right|.
$$
Мне нужно получить $y^2$ как функцию от $x$ в явном виде. Вопрос, что дальше делать с этими логарифмами и модулями? Как снять их корректно?
Сначала я рассуждала так. Снимем знак логарифма:
$$
\left|\dfrac{y^2-1}{y^2}\right| = \left|CV\right|.
$$
Пусть $y^2>1$. Тогда
$$
y^2=\dfrac{1}{1-|CV|}.
$$
Теперь пусть $y^2<1$. Тогда
$$
y^2 =\dfrac{1}{1+|CV|}.
$$
Оба выражения являются решением исходного уравнения.
Но ведь функции
$$
y^2=\dfrac{1}{1-CV}\quad\text{и}\quad y^2=\dfrac{1}{1+CV}
$$
также являются решением исходного уравнения, что легко проверить подстановкой. Но ведь если $V(x)$ меняет знак при некотором $x$ эти два решения ведут себя иначе, чем решения, приведенные выше.
Никак не могу понять, как же все-таки правильно записать общее решение для этого ДУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Anna from Svetl в сообщении #992655 писал(а):
функции
$$ y^2=\dfrac{1}{1-CV}\quad\text{и}\quad y^2=\dfrac{1}{1+CV}$$

Ничем не отличаются друг от друга, кроме обозначения константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 19:55 


05/10/10
141
Да бог с ней, с константой. Меня интересует отличие этого решения от того решения, где $V$ находится под знаком модуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Разберитесь для начала с уравнением попроще: $y'=y/x$. Как здесь снять модуль понятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 20:04 


05/10/10
141
В этом уравнении просто снимают модули с обеих сторон уравнения во всех решениях, которые я видела. Хотя почему, например, нельзя записать
$$
y=C|x|,
$$
мне непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Потому что обычно хотят видеть в качестве решения дифференцируемую функцию.
Почему Вас смущают аналогичные действия для Вашего уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 20:15 


05/10/10
141
Даже если в качестве решения хотят видеть дифференцируемую функцию, это же не отменяет того, что $y=C|x|$ --- решение уравнения? Вы ведь не будете отрицать, что и и решение с модулем, и решение без модуля являются решениями данного уравнения. Но ведь общее решение должно быть одно, разве нет? И ведут себя эти решения по разному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Ну как, при $x=0$ возникают проблемы с подстановкой $y=C|x|$ в уравнение. Если $x=0$ выбросить, то получится две области, и решения в этих областях не обязаны как-то коррелировать в плане знака и величины $C$. Тогда и $y=2x$ при $x>0$, $y=-x$ при $x<0$ -- решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 21:46 


05/10/10
141
А исходя из чего тогда делать выбор: с модулем иди без модуля решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Если Вы не в окрестности нуля, то модуль не нужен, все варианты знаков вбирает в себя константа.
А если в окрестности нуля, то из дифференцируемых функций будет только решение без модуля.
Так что в Вашей задаче я бы убрал модули как только они появились, с оговоркой о знаке $C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение19.03.2015, 23:08 


05/10/10
141
Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решенеи ДУ с разделяющимися переменными: модули
Сообщение20.03.2015, 01:35 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Anna from Svetl в сообщении #992655 писал(а):
$$\dfrac{2dy}{y(y^2-1)} = \dfrac{d(V)}{V}$$
Это уравнение можно без логарифмов и модулей привести к виду
$d\left(\dfrac{y^2-1}{y^2V}\right)=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group