2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Свойства supremum
Сообщение14.10.2007, 12:21 
Аватара пользователя
Привет всем, подскажыте пожалуйста справедливо ли и как проще тогда доказать следующее:

$sup\{f(x)*g(x):x\in A\}<=sup\{f(x):x\in A\}*sup\{g(x):x\in A\}$;
$sup\{(f(x))^n:x\in A\}<=(sup\{f(x):x\in A\})^n$.
Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 12:31 
Аватара пользователя
То, что Вы написали, я понять не смог. То ли х делится на функцию, то ли двоеточие означает что-либо другое? То ли супремум ищется для значений аргумента, то ли для значений какой-то функции?

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 12:41 
Аватара пользователя
Извиняюся, подправил, теперь должно быть понятно

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 12:52 
Аватара пользователя
Верно, доказывается с использованием определения точной верхней грани и простейших арифметических свойств неравенств.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 13:06 
Докажите неравенство для каждого элемента левого множества - отсюда будут следовать неравенства для его супремума.
Лемма: если все элементы множества не больше числа $M$, то и верхняя грань этого множества не может стать больше числа $M$.

 
 
 
 Re: Свойства supremum
Сообщение14.10.2007, 13:20 
citadeldimon писал(а):
Привет всем, подскажыте пожалуйста справедливо ли и как проще тогда доказать следующее:

$sup\{f(x)*g(x):x\in A\}<=sup\{f(x):x\in A\}*sup\{g(x):x\in A\}$;
$sup\{(f(x))^n:x\in A\}<=(sup\{f(x):x\in A\})^n$.
Спасибо.


Что-то я сомневаюсь в справедливости этих неравенств. Начнем со второго. Пусть
$n=2, A=\{-1,0\}, f(x)=x$.
Аналогично первое неравенство. Например, когда обе функции совпадают с выписанной выше.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 13:51 
Аватара пользователя
Да, venja прав. Я ошибку держал. :oops:

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 14:35 
Мдаааа.... хотя то что я написал было верно :lol:

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 15:23 
Аватара пользователя
Да, второе не всегда правильное, а если допустить что $f(x)>0,g(x)>0$. Тогда думаю второе верно.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 15:27 
Аватара пользователя
Тогда все верно.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 15:30 
Аватара пользователя
А идейку как лучше это показать без доказательства в лоб за опредилением?

 
 
 
 
Сообщение14.10.2007, 17:14 
Доказывается в лоб по определению. Лучше некуда - одна строчка.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group