Свойства supremum

[citadeldimon]

Привет всем, подскажыте пожалуйста справедливо ли и как проще тогда доказать следующее:

$sup\{f(x)*g(x):x\in A\}<=sup\{f(x):x\in A\}*sup\{g(x):x\in A\}$;
$sup\{(f(x))^n:x\in A\}<=(sup\{f(x):x\in A\})^n$.
Спасибо.

[Brukvalub]

То, что Вы написали, я понять не смог. То ли х делится на функцию, то ли двоеточие означает что-либо другое? То ли супремум ищется для значений аргумента, то ли для значений какой-то функции?

[citadeldimon]

Извиняюся, подправил, теперь должно быть понятно

[Brukvalub]

Верно, доказывается с использованием определения точной верхней грани и простейших арифметических свойств неравенств.

[AD]

Докажите неравенство для каждого элемента левого множества - отсюда будут следовать неравенства для его супремума.
Лемма: если все элементы множества не больше числа $M$, то и верхняя грань этого множества не может стать больше числа $M$.

[venja]

citadeldimon писал(а):

Привет всем, подскажыте пожалуйста справедливо ли и как проще тогда доказать следующее:

$sup\{f(x)*g(x):x\in A\}<=sup\{f(x):x\in A\}*sup\{g(x):x\in A\}$;
$sup\{(f(x))^n:x\in A\}<=(sup\{f(x):x\in A\})^n$.
Спасибо.

Что-то я сомневаюсь в справедливости этих неравенств. Начнем со второго. Пусть
$n=2, A=\{-1,0\}, f(x)=x$.
Аналогично первое неравенство. Например, когда обе функции совпадают с выписанной выше.

[Brukvalub]

Да, venja прав. Я ошибку держал.

[AD]

Мдаааа.... хотя то что я написал было верно

[citadeldimon]

Да, второе не всегда правильное, а если допустить что $f(x)>0,g(x)>0$. Тогда думаю второе верно.

[Brukvalub]

Тогда все верно.

[citadeldimon]

А идейку как лучше это показать без доказательства в лоб за опредилением?

[AD]

Доказывается в лоб по определению. Лучше некуда - одна строчка.