2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение18.03.2015, 17:34 


26/04/14
68
Минск
Здравствуйте. Дано уравнение: $x(t)=\frac{1}{9}\int_{0}^{\pi}\sin{(t-2s)}x(s)ds + \cos{(2t)}$

Это уравнение с вырожденным ядром. Обозначим $C=\int_{0}^{\pi}\sint{(t-2s)}x(s)ds$, тогда

$x(t)=\frac{1}{9}C+\cos{(2t)}$ — точное решение.

$\frac{1}{9}C+\cos{(2t)}=\frac{1}{9}\int_{0}^{\pi}\sin{(t-2s)}\left (\frac{1}{9}C+\cos{(2s)}\right )ds + \cos{(2t)}$

$C=\frac{\pi}{2}\sin{t} \Rightarrow  x(t)=\frac{\pi}{18}\sin{t} + \cos{(2t)}$

Но при постановке в исходный интеграл я получаю $\frac{25}{486}\sin{t}+\cos{(2t)}$.
Где может быть ошибка?

Можно решать последовательно с помощью принципа сжимающих отображений. Взяв в качестве $x_0(t)=\cos{(2t)}$ получается, что $\x_1(t)=\frac{\pi}{18}\sin{t} + \cos{(2t)}$, но последующие уже не равны $x(t)=\frac{\pi}{18}\sin{t} + \cos{(2t)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение18.03.2015, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6741
$C$ Ваше найдите как следует. Что-то Вы за него невовремя принялись.
HenryDukart в сообщении #992075 писал(а):
$C=\int_{0}^{\pi}\sin {(t-2s)}x(s)ds$

Вот уже в этом месте надо определить вид функциональной зависимости, и только потом подставлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение18.03.2015, 20:00 


26/04/14
68
Минск
Я подобрал ответ: $x(t)=\frac{3}{58}\pi\sin{t}+cos{(2t)}$ благодаря принципу сжимающих отображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение18.03.2015, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6741
Ну проверьте, подставьте, что ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение18.03.2015, 20:29 


26/04/14
68
Минск
Да, подходит, я проверял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение18.03.2015, 22:06 
Заслуженный участник


11/05/08
31490
HenryDukart в сообщении #992163 писал(а):
благодаря принципу сжимающих отображений.

И напрасно. Ядро -- конечномерное и, соотв., уравнение решается безо всяких подборов, по вполне регулярной процедуре. Попробую открыть страшную тайну (от студентов её обычно тщательно скрывают; предполагается, что после школы её следует немедленно забыть): $\sin(t-2s)=\sin t\cos2s-\cos t\sin2s$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение18.03.2015, 22:48 


26/04/14
68
Минск
ewert, дело в том, что у нас в университете убрали один год для многих факультетов, включая тот, на котором я. Это задание по функциональному анализу, главным было доказать, что при определенных $\lambda$ отображение сжимающее, найти решение по принципу сжимающих отображений с определенной точностью и сравнить с точным решением. Но проблема-то в том, что курса интегральных уравнений у нас еще не было из-за смещения программы. Я попробовал метод, который был в методичке для $\lambda\int_{0}^{1}t^2s^2x(s)ds$, который не подошел для моего случая. Я, конечно, смог найти формулу, по которой можно найти точное решение, но имея уже 4 приближения, несложно было заметить,к чему стремится последовательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение18.03.2015, 23:49 
Заслуженный участник


11/05/08
31490
HenryDukart в сообщении #992229 писал(а):
смог найти формулу, по которой можно найти точное решение,

Да дело ни разу не в конкретных формулах. А тупо в том, что решение, очевидно (если оно вообще существует), обязано иметь вид $x(t)=A\cos t+B\sin t +\cos2t$. И после подстановки этого выражения в исходное интегральное уравнение получится попросту линейная алгебраическая система два на два для параметров $A$ и $B$, коя тривиальна, а больше ничего получиться и в принципе не могло бы.

Но если, как Вы говорите, вам в рамках оптимизации учебных программ категорически запретили делать хоть что-то осмысленно, а только по методичкам, то охотно верю. Тренд такой действительно наблюдается, и довольно давно. Тренд он такой тренд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение18.03.2015, 23:54 


26/04/14
68
Минск
ewert в сообщении #992257 писал(а):
А тупо в том, что решение, очевидно (если оно вообще существует), обязано иметь вид $x(t)=A\cos t+B\sin t +\cos2t$.


К сожалению, для меня, кто первый раз столкнулся с интегральными уравнениями, этот факт не очевиден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение19.03.2015, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7981
Hogtown
HenryDukart в сообщении #992259 писал(а):
К сожалению, для меня, кто первый раз столкнулся с интегральными уравнениями, этот факт не очевиден.

А Вам очевидно что образ интегрального оператора может содержать только линейные комбинации $\sin(t)$ и $\cos(t)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2
Сообщение19.03.2015, 00:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31490
HenryDukart в сообщении #992259 писал(а):
для меня, кто первый раз столкнулся с интегральными уравнениями, этот факт не очевиден.

Ну что значит не очевиден. Если Вы помните хоть малость школьную тригонометрию, то тот факт, что интеграл в конечном счёте будет заведомо просто некоей комбинацией синуса и косинуса (уж какой конкретно -- вопрос следующий) -- должен быть очевиден абсолютно.

А что вас столкнули с интегральными уравнениями не приводя в сознание -- так это я уже понял, прочувствовал и даже посочувствовал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group