Точное решение интегрального уравнения Фредгольма-2

[HenryDukart]

Здравствуйте. Дано уравнение: $x(t)=\frac{1}{9}\int_{0}^{\pi}\sin{(t-2s)}x(s)ds + \cos{(2t)}$

Это уравнение с вырожденным ядром. Обозначим $C=\int_{0}^{\pi}\sint{(t-2s)}x(s)ds$, тогда

$x(t)=\frac{1}{9}C+\cos{(2t)}$ — точное решение.

$\frac{1}{9}C+\cos{(2t)}=\frac{1}{9}\int_{0}^{\pi}\sin{(t-2s)}\left (\frac{1}{9}C+\cos{(2s)}\right )ds + \cos{(2t)}$

$C=\frac{\pi}{2}\sin{t} \Rightarrow x(t)=\frac{\pi}{18}\sin{t} + \cos{(2t)}$

Но при постановке в исходный интеграл я получаю $\frac{25}{486}\sin{t}+\cos{(2t)}$.
Где может быть ошибка?

Можно решать последовательно с помощью принципа сжимающих отображений. Взяв в качестве $x_0(t)=\cos{(2t)}$ получается, что $\x_1(t)=\frac{\pi}{18}\sin{t} + \cos{(2t)}$, но последующие уже не равны $x(t)=\frac{\pi}{18}\sin{t} + \cos{(2t)}$.

[Otta]

$C$ Ваше найдите как следует. Что-то Вы за него невовремя принялись.

HenryDukart в сообщении #992075 писал(а):

$C=\int_{0}^{\pi}\sin {(t-2s)}x(s)ds$

Вот уже в этом месте надо определить вид функциональной зависимости, и только потом подставлять.

[HenryDukart]

Я подобрал ответ: $x(t)=\frac{3}{58}\pi\sin{t}+cos{(2t)}$ благодаря принципу сжимающих отображений.

[Otta]

Ну проверьте, подставьте, что ли.

[HenryDukart]

Да, подходит, я проверял.

[ewert]

HenryDukart в сообщении #992163 писал(а):

благодаря принципу сжимающих отображений.

И напрасно. Ядро -- конечномерное и, соотв., уравнение решается безо всяких подборов, по вполне регулярной процедуре. Попробую открыть страшную тайну (от студентов её обычно тщательно скрывают; предполагается, что после школы её следует немедленно забыть): $\sin(t-2s)=\sin t\cos2s-\cos t\sin2s$.

[HenryDukart]

ewert, дело в том, что у нас в университете убрали один год для многих факультетов, включая тот, на котором я. Это задание по функциональному анализу, главным было доказать, что при определенных $\lambda$ отображение сжимающее, найти решение по принципу сжимающих отображений с определенной точностью и сравнить с точным решением. Но проблема-то в том, что курса интегральных уравнений у нас еще не было из-за смещения программы. Я попробовал метод, который был в методичке для $\lambda\int_{0}^{1}t^2s^2x(s)ds$, который не подошел для моего случая. Я, конечно, смог найти формулу, по которой можно найти точное решение, но имея уже 4 приближения, несложно было заметить,к чему стремится последовательность.

[ewert]

HenryDukart в сообщении #992229 писал(а):

смог найти формулу, по которой можно найти точное решение,

Да дело ни разу не в конкретных формулах. А тупо в том, что решение, очевидно (если оно вообще существует), обязано иметь вид $x(t)=A\cos t+B\sin t +\cos2t$. И после подстановки этого выражения в исходное интегральное уравнение получится попросту линейная алгебраическая система два на два для параметров $A$ и $B$, коя тривиальна, а больше ничего получиться и в принципе не могло бы.

Но если, как Вы говорите, вам в рамках оптимизации учебных программ категорически запретили делать хоть что-то осмысленно, а только по методичкам, то охотно верю. Тренд такой действительно наблюдается, и довольно давно. Тренд он такой тренд.

[HenryDukart]

ewert в сообщении #992257 писал(а):

А тупо в том, что решение, очевидно (если оно вообще существует), обязано иметь вид $x(t)=A\cos t+B\sin t +\cos2t$.

К сожалению, для меня, кто первый раз столкнулся с интегральными уравнениями, этот факт не очевиден.

[Red_Herring]

HenryDukart в сообщении #992259 писал(а):

К сожалению, для меня, кто первый раз столкнулся с интегральными уравнениями, этот факт не очевиден.

А Вам очевидно что образ интегрального оператора может содержать только линейные комбинации $\sin(t)$ и $\cos(t)$?

[ewert]

HenryDukart в сообщении #992259 писал(а):

для меня, кто первый раз столкнулся с интегральными уравнениями, этот факт не очевиден.

Ну что значит не очевиден. Если Вы помните хоть малость школьную тригонометрию, то тот факт, что интеграл в конечном счёте будет заведомо просто некоей комбинацией синуса и косинуса (уж какой конкретно -- вопрос следующий) -- должен быть очевиден абсолютно.

А что вас столкнули с интегральными уравнениями не приводя в сознание -- так это я уже понял, прочувствовал и даже посочувствовал.