2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача с параметром.
Сообщение18.03.2015, 11:19 


11/08/13
126
Доброе утро. У меня вопрос, есть ли логическая ошибка в рассуждениях (то есть арифметика, в данном случае, не интересует)
Найти все значения $a$, при каждом из которых неравенство имеет единственное целое решение.

$||x^2-6x+5|-x^2+6x-13|<a-a^2-(x-2)^2+2x-4$

У меня были такие идеи:

$x^2-6x+5=y$, при этом $y\ge -4$.

Неравенство примет вид $||y|-y-8|+y<-a^2+a-3$

$f(y)=||y|-y-8|+y$ возрастающая функция, потому, если $y=y_0$ будет решением, то и все $y<y_0$ будут решениями. А так как $y\ge -4$, то только при $y=-4$ будет одно решение.
То есть $x^2-6x+5=-4$, значит $x=3$ будет единственным решением. Найдем соответствующие значения $a$.

$-a^2+a-3>||-4|+4-8|-4$, тогда $a^2-a-1<0$, тогда $\dfrac{1-\sqrt{5}}2<a<\dfrac{1-\sqrt{5}}2$

Есть ли ошибка в рассуждениях? (с арифметикой точно все хорошо, сто раз перепроверил)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение18.03.2015, 11:52 
Заслуженный участник


04/03/09
819
boriska в сообщении #991887 писал(а):
$f(y)=||y|-y-8|+y$ возрастающая функция

Вот тут неправильно. Нарисуйте для наглядности график этой функции, хоть по точкам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение18.03.2015, 11:58 


11/08/13
126
12d3 в сообщении #991899 писал(а):
boriska в сообщении #991887 писал(а):
$f(y)=||y|-y-8|+y$ возрастающая функция

Вот тут неправильно. Нарисуйте для наглядности график этой функции, хоть по точкам.


Имелось ввиду на области определения (надо было мне написать это уточнение, спасибо, что поправили), то есть при $y\ge -4$

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение18.03.2015, 12:51 
Заслуженный участник


04/03/09
819
Да, я сам не обратил внимания, что это подразумевалось.
Тогда поехали дальше.
boriska в сообщении #991887 писал(а):
А так как $y\ge -4$, то только при $y=-4$ будет одно решение.
То есть $x^2-6x+5=-4$, значит $x=3$ будет единственным решением.

Вам мало того, чтобы $x=3$ являлось решением. Надо еще, чтобы $x=2,\,\,x=4$ не являлось решением, которым соответствует $y=-3$. Подставьте в неравенство, например $a=\frac{1}{2}$, убедитесь, что оно не удовлетворяет условиям задачи, потому что у исходного неравенства будет три целых корня, и проследите в ваших рассуждениях, почему так получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение18.03.2015, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12999
boriska писал(а):
$\dfrac{1-\sqrt{5}}2<a<\dfrac{1-\sqrt{5}}2$
с арифметикой точно все хорошо, сто раз перепроверил

Извините, сразу бросилось в глаза :-) Обидная описка именно в ответе, но ведь сто раз проверяли. Прямо как с Британской Энциклопедией :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение18.03.2015, 13:55 


11/08/13
126
gris в сообщении #991959 писал(а):
boriska писал(а):
$\dfrac{1-\sqrt{5}}2<a<\dfrac{1-\sqrt{5}}2$
с арифметикой точно все хорошо, сто раз перепроверил

Извините, сразу бросилось в глаза :-) Обидная описка именно в ответе, но ведь сто раз проверяли. Прямо как с Британской Энциклопедией :-) .

:D :oops: действительно $\dfrac{1-\sqrt{5}}2<a<\dfrac{1+\sqrt{5}}2$

-- 18.03.2015, 13:59 --

12d3 в сообщении #991940 писал(а):
Да, я сам не обратил внимания, что это подразумевалось.
Тогда поехали дальше.
boriska в сообщении #991887 писал(а):
А так как $y\ge -4$, то только при $y=-4$ будет одно решение.
То есть $x^2-6x+5=-4$, значит $x=3$ будет единственным решением.

Вам мало того, чтобы $x=3$ являлось решением. Надо еще, чтобы $x=2,\,\,x=4$ не являлось решением, которым соответствует $y=-3$. Подставьте в неравенство, например $a=\frac{1}{2}$, убедитесь, что оно не удовлетворяет условиям задачи, потому что у исходного неравенства будет три целых корня, и проследите в ваших рассуждениях, почему так получилось.

Там будет один корень. Даже вольфрам подтвердит http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... 5E2%2B2x-4

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение18.03.2015, 21:56 


11/08/13
126
Или вольфрам обманывает?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение19.03.2015, 09:39 
Заслуженный участник


04/03/09
819
boriska в сообщении #992211 писал(а):
Или вольфрам обманывает?)

Вольфрам не обманывает, я обманываю. ( Пойду попью чайку, приведу мозги в порядок. У вас правильно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group