Задача с параметром.

[boriska]

Доброе утро. У меня вопрос, есть ли логическая ошибка в рассуждениях (то есть арифметика, в данном случае, не интересует)
Найти все значения $a$, при каждом из которых неравенство имеет единственное целое решение.

$||x^2-6x+5|-x^2+6x-13|<a-a^2-(x-2)^2+2x-4$

У меня были такие идеи:

$x^2-6x+5=y$, при этом $y\ge -4$.

Неравенство примет вид $||y|-y-8|+y<-a^2+a-3$

$f(y)=||y|-y-8|+y$ возрастающая функция, потому, если $y=y_0$ будет решением, то и все $y<y_0$ будут решениями. А так как $y\ge -4$, то только при $y=-4$ будет одно решение.
То есть $x^2-6x+5=-4$, значит $x=3$ будет единственным решением. Найдем соответствующие значения $a$.

$-a^2+a-3>||-4|+4-8|-4$, тогда $a^2-a-1<0$, тогда $\dfrac{1-\sqrt{5}}2<a<\dfrac{1-\sqrt{5}}2$

Есть ли ошибка в рассуждениях? (с арифметикой точно все хорошо, сто раз перепроверил)

[12d3]

boriska в сообщении #991887 писал(а):

$f(y)=||y|-y-8|+y$ возрастающая функция

Вот тут неправильно. Нарисуйте для наглядности график этой функции, хоть по точкам.

[boriska]

12d3 в сообщении #991899 писал(а):

boriska в сообщении #991887 писал(а):

$f(y)=||y|-y-8|+y$ возрастающая функция

Вот тут неправильно. Нарисуйте для наглядности график этой функции, хоть по точкам.

Имелось ввиду на области определения (надо было мне написать это уточнение, спасибо, что поправили), то есть при $y\ge -4$

[12d3]

Да, я сам не обратил внимания, что это подразумевалось.
Тогда поехали дальше.

boriska в сообщении #991887 писал(а):

А так как $y\ge -4$, то только при $y=-4$ будет одно решение.
То есть $x^2-6x+5=-4$, значит $x=3$ будет единственным решением.

Вам мало того, чтобы $x=3$ являлось решением. Надо еще, чтобы $x=2,\,\,x=4$ не являлось решением, которым соответствует $y=-3$. Подставьте в неравенство, например $a=\frac{1}{2}$, убедитесь, что оно не удовлетворяет условиям задачи, потому что у исходного неравенства будет три целых корня, и проследите в ваших рассуждениях, почему так получилось.

[gris]

boriska писал(а):

$\dfrac{1-\sqrt{5}}2<a<\dfrac{1-\sqrt{5}}2$
с арифметикой точно все хорошо, сто раз перепроверил

Извините, сразу бросилось в глаза Обидная описка именно в ответе, но ведь сто раз проверяли. Прямо как с Британской Энциклопедией .

[boriska]

gris в сообщении #991959 писал(а):

boriska писал(а):

$\dfrac{1-\sqrt{5}}2<a<\dfrac{1-\sqrt{5}}2$
с арифметикой точно все хорошо, сто раз перепроверил

Извините, сразу бросилось в глаза Обидная описка именно в ответе, но ведь сто раз проверяли. Прямо как с Британской Энциклопедией .

действительно $\dfrac{1-\sqrt{5}}2<a<\dfrac{1+\sqrt{5}}2$

-- 18.03.2015, 13:59 --

12d3 в сообщении #991940 писал(а):

Да, я сам не обратил внимания, что это подразумевалось.
Тогда поехали дальше.

boriska в сообщении #991887 писал(а):

А так как $y\ge -4$, то только при $y=-4$ будет одно решение.
То есть $x^2-6x+5=-4$, значит $x=3$ будет единственным решением.

Вам мало того, чтобы $x=3$ являлось решением. Надо еще, чтобы $x=2,\,\,x=4$ не являлось решением, которым соответствует $y=-3$. Подставьте в неравенство, например $a=\frac{1}{2}$, убедитесь, что оно не удовлетворяет условиям задачи, потому что у исходного неравенства будет три целых корня, и проследите в ваших рассуждениях, почему так получилось.

Там будет один корень. Даже вольфрам подтвердит http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... 5E2%2B2x-4

[boriska]

Или вольфрам обманывает?)

[12d3]

boriska в сообщении #992211 писал(а):

Или вольфрам обманывает?)

Вольфрам не обманывает, я обманываю. ( Пойду попью чайку, приведу мозги в порядок. У вас правильно.