Индукция магнитного поля в центре спирали

[kis]

Цитата:

Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из $N$ плотно расположенных витков, по которым течет ток $I$. Радиусы внутреннего и внешнего витков равны $a, b$. Найти индукцию магнитного поля в центре спирали

$N$ концентрических окружностей можно считать спиралью из $N$ витков. Поле в центре $n$-й окружности радиуса $r$ направлено перпендикулярно плоскости этой окружности

$$B_n = \frac{\mu I}{2} \frac{1}{r}$$

Таких окружностей N штук. Расстояние между соседними окружностями считаю постоянным и равным $L = (b-a)/(N-1)$ и тогда радиус $n$-й окружности вычисляется по формуле $r_n = a + (n-1)L$. То есть нужно посчитать сумму

$$B=\sum_1^N B_n = \sum_1^N \frac{\mu I}{2} \frac{1}{r_n}$$

Но в решении не сумма, а интеграл:

$$B=\int B_n dN$$

где $dN=\frac{N}{b-a}dr$

В принципе я ожидал, что суммирование можно приближенно заменить интегрированием, но не понимаю смысл указанного выше интеграла и выражения для $dN$.
Объясните, пожалуйста

[Munin]

Здесь неформальный приём такой: номер витка считают не целочисленной переменной, набирающей величину от 1 до $N,$ а действительной переменной, непрерывно изменяющейся в тех же пределах.

Это, конечно, математически не очень законно. Но ошибка возникает порядка $\tfrac{1}{N}$ - такого же порядка малости, что и когда вы заменяете витки спирали концентрическими окружностями. Так что, для физических прикидок сойдёт - к тому же, ведь $N$ считается достаточно большим числом.

-- 15.03.2015 09:59:05 --

Как получили выражение для $dN$? Для начала, взяли выражение $n(r),$ а потом продифференцировали. Точнее, что за $n(r)$? У нас есть выражение $r(n)$ - вот его можно взять и выписать (а, вы уже выписали). А потом обратить, выразить из него $n.$

[kis]

Тогда выражение для $dN$ - это число витков на единицу длины, т.е. плотность?

p.s. точнее плотность - это не $dN$, а $N/(b-a)$

[Munin]

Ну да, на единицу радиуса.

-- 15.03.2015 10:03:39 --

Более того, у этого приёма может быть и физическое оправдание: если провод сам по себе тонкий, но по сравнению с расстоянием между витками - не тонкий. Если провод, наоборот, заполняет межвитковое пространство почти полностью, то выражение с интегралом точнее, чем с суммой :-) Впрочем, это крохоборство.

[kis]

Спасибо!

[Pphantom]

Я поправил мелкие огрехи в формулах, но впредь проверяйте все сами.