Сопутствующее уравнение

[ananova]

Прошу помочь определить - имеет ли уравнение целочисленные решения, если все переменные взаимно простые и небольшое уточнение: правая часть не приводится к виду: $(cd + g)ab$?
$\frac {ca} b e - \frac {db} a f = cd + g$
Также интересует случай, когда $b=a$

[Andrey A]

Не очень понятна Ваша оговорка, здесь видна такая: $a\neq 0;\ b\neq 0.$ Тогда имеем право домножить всё на $ab$ и получить: $cea^2-dfb^2-(cd+g)ab=0$ Если пара слагаемых в такой сумме имеют общий делитель $D>1$, то и третье кратно $D$. Под "все переменные взаимно простые" понимается "попарно вз. просты"? Тогда $\left| a\right|=\left| b\right|=1.$
$g=ce-df-cd$ или с минусом. То же и для $b=a.$

[ananova]

Благодарю за ответ. Уточняю, что все переменные попарно взаимно просты.
Из Вашего ответа я понял, а для себя сделал важный вывод: что уравнение не имеет решения, при $b \neq a$, a для случая $b=a$ решение выглядит так: $g=ce - df - cd$
Решений бесконечное множество, например: $c=3$, $d=5$ , тогда: $g=3e - 5f - 15$, а если $c$ и $d$ являются вещественными или рациональными дробными числами, то g не может быть целочисленным. Как это можно доказать?

[Andrey A]

Всё так. Но последнее не верно в точности до наоборот. $c=\frac{g+df}{e-d}.$ Возьмите $g$ за целый аргумент, и для каждого вещественного $d$ найдете вещественное $c$. То же и с рациональными.

[ananova]

Так то так, a если $cd$ - целое число?

[Andrey A]

(Оффтоп)

- Последний вопрос, и я ставлю Вам пять. Где появился первый человек?
- В Таганроге.
- Почему?
- Профессор, но это уже второй вопрос.