Несобственный интеграл с комплексным параметром

[bayak]

Научите, пожалуйста, брать вот этот интеграл:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin\left[ b(ix)\right]}{ix}dx,$$

где параметр $a$ положительное вещественное число, а $b$ - произвольное комплексное.
Может быть тут помогут нижеприведенные интегралы с вещественными параметрами:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin\left[ bx\right]}{x}dx = \arctg\left(\frac{b}{a}\right),$$

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\cos\left[ bx\right]}{x}dx = \frac{1}{2}\ln(a^2 + b^2),$$

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin\left[ b(ix)\right]}{ix}dx = \begin{cases} \operatorname{arth} \left(\frac{b}{a}\right), \mbox{~если~} a^2 > b^2\\ \operatorname{arcth} \left(\frac{b}{a}\right), \mbox{~если~} a^2 \leq b^2, \end{cases}$$

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\cos\left[ b(ix)\right]}{ix}dx = \begin{cases} -\frac{1}{2}\ln(a^2 - b^2),\mbox{~если~} a^2 > b^2\\ -\frac{1}{2}\ln(b^2 - a^2),\mbox{~если~} a^2 \leq b^2, \end{cases}$$

но если разложить синус комплексного аргумента, то в подынтегральном выражении вылазит экспонента с произвольным по знаку параметром, что не позволяет свести наш случай к комбинации выписанных примеров.

[ИСН]

Для чего Вы рубите топором песок? Ваш третий пример идентичен основному вопросу. Второй и четвёртый примеры, правда, представляют собой чушь. (Как интеграл может быть чему-то равен, если он тупо расходится в нуле?)

[bayak]

ИСН, а почему идентичен? Получается, что можно просто считать параметр комплексным. А как тогда быть с условиями сравнения параметров. Что касается второго и четвёртого примера, то я просто тупо применил дифференцирование по параметру. Следующий раз надо быть поосторожней.

[mihiv]

Должно выполняться условие $|Reb|<a$, иначе интеграл расходится на бесконечности.

[bayak]

mihiv, ну пусть условие выполнено, но к чему интеграл сходится? ИСН, например, утверждает, что это и есть третий пример, но мне это не понятно.

[mihiv]

Если нигде не ошибся, то получается: $\frac 12\ln {\dfrac {a+b}{a-b}}$.

[bayak]

mihiv в сообщении #989944 писал(а):

Если нигде не ошибся, то получается: $\frac 12\ln {\dfrac {a+b}{a-b}}$.

Ну вот, и Вы пришли к верхней части третьего примера. Но почему при вычислении интеграла, с комплексным параметром можно обращаться как с вещественным?

[mihiv]

Самый простой ответ: потому что, если для аналитической функции какое-то соотношение выполняется для действительных значений аргумента, то оно выполняется и во всей области аналитичности.

[bayak]

mihiv, спасибо за разъяснения.