2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнения с переменной в показателе степени
Сообщение12.03.2015, 16:18 
Аватара пользователя
Как решать уравнения вида
$$a^x + b^x = c$$
где $a, b, c$ - константы, $x$ - переменная?

Понятно, что в некоторых случаях (в частности, когда $a, b, c, x$ - целые), уравнение можно решить методом великого математика Подбора. Так решается, например, $2^x + 3^x = 13$. А как решить, скажем, $2^x + 3^x = 10$? Напрашивается идея взять от чего-нибудь логарифм, но ведь для логарифма суммы как будто нет никакого тождества. Да и по какому основанию его брать?
В целом, конечно, должна быть функция вида $x = x(a, b, c)$, но вот как она выглядит и является ли вообще элементарной?

У кого-нибудь есть соображения по этому поводу?

 
 
 
 Re: Уравнения с переменной в показателе степени
Сообщение12.03.2015, 16:26 
Аватара пользователя
Anton_Peplov в сообщении #989316 писал(а):
и является ли вообще элементарной?

Вот именно.

 
 
 
 Re: Уравнения с переменной в показателе степени
Сообщение12.03.2015, 16:30 
Применить численные методы и найти значение переменной до нужной точности.

 
 
 
 Re: Уравнения с переменной в показателе степени
Сообщение12.03.2015, 16:46 
Аватара пользователя
yk2ru в сообщении #989319 писал(а):
Применить численные методы и найти значение переменной до нужной точности.


Мне это не подходит. Мне функция нужна. Все это в конечном счете выросло из попытки применить метод наименьших квадратов к показательной функции.

 
 
 
 Re: Уравнения с переменной в показателе степени
Сообщение12.03.2015, 20:55 
Аватара пользователя
Только численно.

 
 
 
 Re: Уравнения с переменной в показателе степени
Сообщение12.03.2015, 23:00 
Аватара пользователя
Если $x$ имеется в виду - натуральный показатель, то есть смысл различать два случая: $x$ - четное/нечетное. Тогда из факторизации $c$ можно сделать какие-то выводы о разрешимости Вашего уравнения. Т.е. аналитическая часть все-таки есть.

 
 
 
 Re: Уравнения с переменной в показателе степени
Сообщение12.03.2015, 23:10 
Аватара пользователя
Судя по постановке задачи
Anton_Peplov в сообщении #989325 писал(а):
применить метод наименьших квадратов к показательной функции.

надеяться на целочисленное значение параметра не стоит...

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group