2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение09.03.2015, 21:13 


26/09/14
31
Известен следующий критерий: линейный функционал над ТВП непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто. Необходимость очевидна, доказательство достаточности следующее:

Пусть $f$ - линейный функционал над $X$ и $\ker f$ замкнуто. Считая, что $f \ne 0$ (иначе все очевидно), возьмем $x \in X \setminus \ker f$. Так как $X \setminus \ker f$ открыто, то в $X \setminus \ker f - x$ лежит некоторая окрестность нуля $U$, которую (в силу свойств ТВП) можно считать уравновешенной. Тогда и $f(U)$ уравновешено. Предположим, что $f(U)$ неограничено, тогда $f(U) = \mathbb{R}$ и $\exists y \in U: f(y) = -f(x)$. Но тогда $x + y \in \ker f$ - противоречие. Значит, $f(U)$ ограничено, то есть $\exists C > 0: U \subset \{x \in X: f(x) \le C\}$. Поэтому последнее множество - окрестность нуля, а вместе с тем и $\forall \varepsilon > 0\;\{x \in X: f(x) \le \varepsilon\}$ - окрестность нуля. Из последнего очевидно, что $f$ переводит направленность, сходящуюся к нулю, в направленность, сходящуюся к нулю.

Верен ли аналог этого критерия: линейный функционал над ТВП секвенциально непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро секвенциально замкнуто?

Доказательство можно было бы повторить, заменив "открытость", "замкнутость", "окрестность" и "направленность" на соответственно "секвенциальную открытость", "секвенциальную замкнутость", "секвенциальную окрестность" и "последовательность", если бы удалось доказать, что любая секвенциальная окрестность нуля содержит уравновешенную секвенциальную подокрестность. Подозреваю, что на самом деле это неверно, но контрпример придумать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение09.03.2015, 21:20 


10/02/11
6786
red_alert в сообщении #987913 писал(а):
секвенциальная окрестность нуля

а это ччто такое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение09.03.2015, 21:24 


26/09/14
31
$U$ - секвенциальная окрестность точки $x$, если любая последовательность, сходящаяся к $x$, содержится в $U$, начиная с некоторого индекса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение10.03.2015, 05:46 


28/05/12
203
red_alert в сообщении #987921 писал(а):
$U$ - секвенциальная окрестность точки $x$, если любая последовательность, сходящаяся к $x$, содержится в $U$, начиная с некоторого индекса.

Чем тогда отличается секвенциальная окрестность от обычной окрестности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение10.03.2015, 08:28 


26/09/14
31
Тем, что сходящаяся направленность не обязана в ней начиная с некоторого индекса содержаться. Обратное, конечно, верно: каждая окрестность является секвенциальной окрестностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение10.03.2015, 13:20 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Похоже, что ответ положительный: см. [1], стр. 47, теорема 1.4.7.
(Прошу проверить, я не вчитывался.)

[1] Thomas Beatty. Sequential topologies and their application to a new class of locally convex spaces. Florida Atlantic University, 1993.

Это первое, что нагуглилось. Возможно, есть и более удобные ссылки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение10.03.2015, 21:16 


26/09/14
31
Да, это то, что надо. Спасибо. Правда, там дополнительно предполагается (и используется) хаусдорфовость пространства, которая в первом критерии была вроде бы не нужна...

upd: хотя на самом деле и не хаусдорфовость используется, а "секвенциальная хаусдорфовость" - единственность предела последовательностей (а не направленностей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение11.03.2015, 12:09 


26/09/14
31
В книге предлагается следующая идея: вместе с исходной топологией рассматривать "ассоциированную", порожденную всеми секвенциально открытыми множествами. Секвенциальная замкнутость/непрерывность в исходной топологии - это замкнутость/непрерывность в ассоциированной. Если бы удалось доказать, что ассоциированная с векторной топологией тоже векторная, то новый критерий можно было бы напрямую получить из старого (таким образом, избавиться и от требования хаусдорфовости). Скорее всего, это неверно (раз не доказывается). Как можно было бы это показать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение11.03.2015, 14:24 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
red_alert в сообщении #988336 писал(а):
хотя на самом деле и не хаусдорфовость используется, а "секвенциальная хаусдорфовость" - единственность предела последовательностей (а не направленностей).
Эта «секвенциальная хаусдорфовость» в общем случае занимает промежуточное положение между $T_1$ и $T_2$, но в равномеризуемом случае (в частности, в случае ТВП) отделимости $T_0$, $T_1$ и $T_2$ равносильны, а значит, «секвенциальная хаусдорфовость» ТВП равносильна хаусдорфовости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение12.03.2015, 21:18 


26/09/14
31
red_alert в сообщении #988655 писал(а):
В книге предлагается следующая идея: вместе с исходной топологией рассматривать "ассоциированную", порожденную всеми секвенциально открытыми множествами. Секвенциальная замкнутость/непрерывность в исходной топологии - это замкнутость/непрерывность в ассоциированной. Если бы удалось доказать, что ассоциированная с векторной топологией тоже векторная, то новый критерий можно было бы напрямую получить из старого (таким образом, избавиться и от требования хаусдорфовости). Скорее всего, это неверно (раз не доказывается). Как можно было бы это показать?

Да, это неверно: R. M. Dudley. On Sequential Convergence, стр. 495, теорема 6.6 и замечания после нее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение19.03.2015, 14:47 


26/09/14
31
Оказалось, что критерий все же верен и без предположения хаусдорфости.
Доказательство: Zhang Zhi-yao. Characterization of Mazur spaces, стр. 309.
Там предполагается локальная выпуклость пространства, но по сути она не используется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий секвенциальной непрерывности линейного функционала
Сообщение19.03.2015, 18:46 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
red_alert в сообщении #992460 писал(а):
Доказательство: Zhang Zhi-yao. Characterization of Mazur spaces, стр. 309.
Спасибо. Симпатичное доказательство.

(Оффтоп)

Ну и журнальчик! Безобразный набор, ужасный английский.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group