Вопрос: как происходит переход от подчеркнутого неравенства к проверке выполнения неравенства треугольника?
Никак: там нет ни одного подчёркнутого неравенства, есть лишь одно робко, но размашисто надчёркнутое.
Если же говорить о нём самом, то оно -- ровно и есть неравенство треугольника, с точностью до перегоняния слагаемых в ту-другую сторону. Вот откуда аффтары его взяли -- а кто ж их знает. Скорее всего, они перевели понятие выпуклости на "приращение на отрезке фиксированной длины убывает по мере скольжения отрезка вправо"; но угадать поток заклинаний, которыми они сей факт обосновывали -- по Вашей цитате вряд ли возможно.