Закрыть точечный источник света шарами

[Droog_Andrey]

В $n$-мерном пространстве висит точечный источник света. Его нужно со всех сторон закрыть чёрными $n$-шарами произвольного радиуса, не содержащими светящуюся точку и не пересекающимися друг с другом.

- Какое минимальное количество шаров для этого необходимо?
- Каково при этом максимальное число точек касания шаров?

[Aritaborian]

Симплексы?

[Droog_Andrey]

Очевидно, что число шаров не меньше $n+1$. Если окажется, что шаров $n+1$, то будет очевидно, что точек касания не более чем $n(n+1)/2$. Если окажется, что точек касания $n(n+1)/2$, то - да, они будут на рёбрах симплекса с вершинами в центрах шаров.

[Aritaborian]

Об этом речь и шла ;-) Ну так, по-моему, очевидно, что такая конструкция сработает.

[Droog_Andrey]

Вот даже для трёхмерного пространства неочевидно, что можно достичь шести точек касания.

P.S. Задачу немного успели обсудить тут.

[Geen]

Вот как-то совсем неочевидно, что в трёхмерном пр-ве хватит 4-х шаров...
А в одномерном - точек касания 0 - и совсем неочевидно почему симплексы...?

[Munin]

Geen в сообщении #1434227 писал(а):

Вот как-то совсем неочевидно, что в трёхмерном пр-ве хватит 4-х шаров...

Очевидно, если допустить, что шары можно делать очень разного размера. Тогда задача сводится к покрытию сферы кругами (сферическими), радиуса меньше $\pi/2.$

[arseniiv]

(Надо бы дойти руками до конкретной реализации и повертеть её чтобы убедить воображение…)

[Droog_Andrey]

Пусть пространство трёхмерное, а наименьший из четырёх шаров имеет единичный радиус. Каков минимально возможный радиус наибольшего шара в случае $k$ точек касания?

[Dmitriy40]

Как пятью (в 3D) знаю, два тетраэдра центров шаров, а вот четырьмя что-то не выходит закрыть.

[svv]

Dmitriy40
1. Возьмите сначала правильный тетраэдр. Источник света расположите в центре. А 4 одинаковых микроскопических шарика разместите центрами в вершинах тетраэдра. Так как шарики микроскопические, они пока что не закрывают источник.
2. Теперь начинайте синхронно увеличивать радиусы шаров, не обращая внимание на их пересечение друг с другом. Остановитесь, когда источник будет закрыт. Это произойдёт раньше, чем шары коснулись бы источника (чего допускать нельзя).
3. Первый шар пусть останется на месте. Второй увеличьте и удалите от источника так, чтобы он больше не пересекался с первым шаром, но закрываемый им конус остался тем же. И так далее.

[Geen]

Но тогда это работает при произвольном $n$...

[Dmitriy40]

Спасибо, да, оказалось всё просто.