Итерации в окрестности неподвижной точки

[demolishka]

Пусть $x$ - неподвижная точка отображения $f$, заданного на действительной оси, причем $|f'(x)|=1$ и $f''(x)\not=0$. Необходимо показать, что в сколь угодно малой окрестности $x$ найдется точка $y$, такая что последовательность её итераций $f^n(y) = (f \circ .... \circ f)(y)$ не сходится к $x$.

Непонятно как подобраться к выбору точки $y$. Если расписать(в предположении локальной дважды непрерывной дифференцируемости) по Лагранжу разность $|f^n(y) - x| = |f^n(y) - f(x)| = ... = |f'(\xi_n)\cdot...\cdot f'(\xi_1) (x-y)|.$ То хотелось бы, чтобы $|f'(\xi_k)| \geq 1$. Условие $f''(x)\not=0$ обеспечивает наличие таких точек в одной из полуокрестностей точки $x$. Но отображение $f$ запросто может перекидывать точки из одной полуокрестности в другую (например $f(x) = -x + x^2, f(0)=0, f'(0)=-1,f''(0)=2$) и ничего хорошо вроде как не получается.

[ewert]

Ну геометрически покажите. У Вас же по условию график функции касается биссектрисы в этой точке, но при этом хоть в какой-то окрестности лежит выше её.

При этом геометрически совершенно очевидно, что с одной стороны последовательные приближения будут стремиться к корню, а с противоположной -- как-то заведомо отнюдь. И останется лишь формализовать эту геометрическую тривиальщину.

[demolishka]

Действительно, геометрически всё совсем просто. Большое Вам спасибо.

[demolishka]

Недавно вернулся к этой задаче и понял, что совершенно не понимаю ситуацию с $f'(x_0)=-1$. В этом случае отображение перекидывает точки из левой полуокрестности неподвижной точки $x_0$ в правую и наоборот. Совершенно непонятно при каких сходимость будет, а при каких нет. Например, в похожей ситуации перекидывания для логистического отображения возникает сложная динамика.

[DeBill]

demolishka в сообщении #1233142 писал(а):

ситуацию с $f'(x_0)=-1$.

Надо рассмотреть отображение $f(f(x)) = x + cx^3 +...$ (оно - всегда такое, для $x_0 = 0$). Если $c<0$ - устойчивость, если $c>0$ - неустойчивость. При $c=0$, надо смотреть следующие члены....

[demolishka]

Только вот в исходной задаче про третью производную ничего не сказано... Причем, указания к самой задаче (в книге А. Катка "Введение в теорию динамических систем...", задача 2.2.6) ровно те же самые, что и давал ewert, т.е. для случая $f'(x)=1$. А тут как раз ситуация, когда $g(x) = f(f(x))$ имеет $g'(x_0)=1$ и $g''(x_0)=0$, что как бы не вписывается в условия исходной задачи.