2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 численное решение уравнения теплопроводности
Сообщение04.03.2015, 19:42 


19/12/12
25
нужно решить численно задачу

$T_t = T_x_x, x \geqslant 0

$T_x_=_0 = 100

$T_x_\rightarrow_\infty \rightarrow 20

меня интересует поведение решения на отрезке $ x \in [0; 1]. трудность возникает с граничным условием на бесконечности. я могу поставить такое же граничное условие в точке х=1, тогда решение будет очень сильно сжато вдоль оси Ох, могу поставить его где-нибудь далеко справа, решение все равно останется сжатым, хоть и в меньшей степени. возникает вопрос: как просчитывать его правильно?

просчет ведется по явной конечно-разностной схеме, где n - время, m - координата:
$\frac{T_m^{n+1} - T_m^n}{\tau}$ $=$ $\frac{T^n_{m+1}-2T^n_m+T^n_{m-1}}{h^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: численное решение уравнения теплопроводности
Сообщение04.03.2015, 19:52 
Заслуженный участник


25/02/11
1586
А начальное условие какое?

 Профиль  
                  
 
 Re: численное решение уравнения теплопроводности
Сообщение04.03.2015, 20:01 


19/12/12
25
всюду, кроме нуля, 20. в нуле T=100

 Профиль  
                  
 
 Re: численное решение уравнения теплопроводности
Сообщение04.03.2015, 20:12 
Заслуженный участник


25/02/11
1586
Вычесть из решения $20$. Тогда решение можно записать явно в виде потенциала двойного слоя. Это интеграл, который будет через что-то выражаться. Функцию ошибок, неполную гамма-функцию или что-то вроде. Можно и численно этот интеграл для каждой точки считать, но зачем, если есть точная формула. А потом прибавить $20$.

 Профиль  
                  
 
 Re: численное решение уравнения теплопроводности
Сообщение04.03.2015, 20:23 


19/12/12
25
мне нужно именно в числах решить конкретную задачу. точные решения - это хорошо, но задача другая: численно решить краевую задачу на полуограниченной прямой

 Профиль  
                  
 
 Re: численное решение уравнения теплопроводности
Сообщение04.03.2015, 20:36 
Заслуженный участник


25/02/11
1586
Ну, тогда и считать численно. Потенциал двойного слоя для фиксированного $t$ очень быстро убывает на бесконечности, примерно как фундаментальное решение. Так что, скажем, при $t\le 1$ достаточно правый край взять при $x=10$, чтобы условие на нем с большой точностью равнялось $20$. C какой точностью, зависит от максимального значения времени $t_\max$, для которго нужно решение. Разность между точным значением и $20$ будет порядка $80 e^{-25/t}$. В силу принципа максимума отклонение решения от точного будет не больше этого во всей области $0\le x\le 10$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group