численное решение уравнения теплопроводности

[molblox]

нужно решить численно задачу

$T_t = T_x_x, x \geqslant 0

$T_x_=_0 = 100

$T_x_\rightarrow_\infty \rightarrow 20

меня интересует поведение решения на отрезке $ x \in [0; 1]. трудность возникает с граничным условием на бесконечности. я могу поставить такое же граничное условие в точке х=1, тогда решение будет очень сильно сжато вдоль оси Ох, могу поставить его где-нибудь далеко справа, решение все равно останется сжатым, хоть и в меньшей степени. возникает вопрос: как просчитывать его правильно?

просчет ведется по явной конечно-разностной схеме, где n - время, m - координата:
$\frac{T_m^{n+1} - T_m^n}{\tau}$ $=$ $\frac{T^n_{m+1}-2T^n_m+T^n_{m-1}}{h^2}$

[Vince Diesel]

А начальное условие какое?

[molblox]

всюду, кроме нуля, 20. в нуле T=100

[Vince Diesel]

Вычесть из решения $20$. Тогда решение можно записать явно в виде потенциала двойного слоя. Это интеграл, который будет через что-то выражаться. Функцию ошибок, неполную гамма-функцию или что-то вроде. Можно и численно этот интеграл для каждой точки считать, но зачем, если есть точная формула. А потом прибавить $20$.

[molblox]

мне нужно именно в числах решить конкретную задачу. точные решения - это хорошо, но задача другая: численно решить краевую задачу на полуограниченной прямой

[Vince Diesel]

Ну, тогда и считать численно. Потенциал двойного слоя для фиксированного $t$ очень быстро убывает на бесконечности, примерно как фундаментальное решение. Так что, скажем, при $t\le 1$ достаточно правый край взять при $x=10$, чтобы условие на нем с большой точностью равнялось $20$. C какой точностью, зависит от максимального значения времени $t_\max$, для которго нужно решение. Разность между точным значением и $20$ будет порядка $80 e^{-25/t}$. В силу принципа максимума отклонение решения от точного будет не больше этого во всей области $0\le x\le 10$.