2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 функция Бесселя от комплексного аргумента в MathCAD
Сообщение10.10.2007, 08:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
716
Южная Корея
Здравствуйте. Разбираюсь тут со скин эффектом в круглом проводе. Собственно, после замены переменных, задача свелась к решению модифицированного уравнения Бесселя первого порядка вида:

$x^2 \cdot y'' + x \cdot y' - (x^2 + 1) \cdot y = 0$

MathCAD имеет встроенные функции решения уравнения Бесселя, но понимает только вещественный аргумент. А у меня x - комплексное, причем такого специфического вида:

$x = r \sqrt{\alpha} \cdot  e ^{j \cdot \pi / 4 } $

Таким образом имеем вещественный множитель (alfa - вещественное, r - собственно мой изначальный аргумент) и комплексный множитель (число с фазой 45 градусов).

Вопрос как записать решение, чтобы было удобоваримо в MathCAD? Комплексный аргумент встроенные функции J,Y,I,K отвергают, но может быть есть какое нибудь готовое решение (хотелость бы в виде простых функций) для данного случая?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 09:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13478
Москва
powerZ писал(а):
Вопрос как записать решение, чтобы было удобоваримо в MathCAD? Комплексный аргумент встроенные функции J,Y,I,K отвергают
А замена переменной, смещающая фазу в 0, не поможет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 10:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
716
Южная Корея
Наверное помогло бы, но при условии что уравнение при этом не изменится. Но как это сделать? Собственно я целенаправленно приводил уравнения к виду Бесселя, поскольку наслышан, что задача решается именно через функции Бесселя. В литературе видел решения для плотности тока, что несколько упрощает задачу. Но я пошел другим путём :wink: и получил решение для напряженности магнитного поля (т.к. граничные условия для этого случая точно известны). Может в случае удачной замены переменных уравнение преобразуется в какоё-нибудь другой известный вид?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
716
Южная Корея
Я не очень знаком со свойствами функций Бесселя, в частности не знаю, может ли вообще там быть комплексный аргумент. Но я тут немного подумал, и решил, что можно записать и так, чтобы был вещественный аргумент. Тогда решать придется вот что:

$x^2 \cdot y'' + \frac {1} {j}  \cdot x \cdot  y' - (x^2 + \frac {1} {j}) \cdot y = 0$

Но это уже не уравнение Бесселя? Как бы найти решение?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13478
Москва
А если теперь в уравнении разделить вещественную и мнимую части (я предполагаю, что Вы ищете вещественнозначное решение)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
716
Южная Корея
Цитата:
я предполагаю, что Вы ищете вещественнозначное решение

Нет, решение как раз - в комплексной области. Вот аргументом изначально выступает вещественное число (расстояние от центра провода). То есть $y$ - комплексное число, $x$ - вещественное (в последнем уравнении). В первом - оба комплексные.



Цитата:
А если теперь в уравнении разделить вещественную и мнимую части

Что Вы имеете в виду под таким разделением? Представить $y$ в виде комплексного числа, и разложить левую часть по действительной и мнимой составляющей?

Ну хорошо попробую: $y=y1+j \cdot y2$
Тогда, если ничего не напутал, решать придется систему из двух уравнений:
$x^2 \cdot y1'' + x \cdot y2' - x^2 \cdot y1 - y2 = 0 $ (для действ. сост.)
$x^2 \cdot y2'' - x \cdot y1' + y1 -  x^2 \cdot y2  = 0 $ (для мнимой)

Всё ещё сложнее стало :cry:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13478
Москва
powerZ писал(а):
Что Вы имеете в виду под таким разделением? Представить y в виде комплексного числа, и разложить левую часть по действительной и мнимой составляющей?
Да, но эта мысль касалась вещественных решений, а Вы, как выяснилось, ищете комплекснозначные, а тогда такое разделение приводит к довольно сложной системе диф. уравнений....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
716
Южная Корея
Да, я уже и сам это понял :) . Всё же интересно было бы узнать - может ли функция Бесселя иметь комплексный аргумент или это особенность MathCADa, что он понимает только вещественный?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13478
Москва
powerZ писал(а):
может ли функция Бесселя иметь комплексный аргумент
На этот-то вопрос ответить нетрудно: берем любой справочник по спецфункциям и узнаем, что, конечно - так может быть!
(см. Олвер Ф. — Асимптотика и специальные функции , Кузнецов Д.С. — Специальные функции , Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. — Специальные функции: Формулы, графики, таблицы и т.д.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2007, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17192
Москва
powerZ писал(а):
$x^2\cdot y''+\frac 1j\cdot x\cdot y'-(x^2+\frac 1j)\cdot y=0$


Mathematica 5.1 выдала мне решение

$$y=x^{\frac{1+j}2}\left(C_1J_{\frac{1+j}2}(-jx)+C_2Y_{\frac{1+j}2}(-jx)\right)\text{.}$$

powerZ писал(а):
Здравствуйте. Разбираюсь тут со скин эффектом в круглом проводе. Собственно, после замены переменных, задача свелась к решению модифицированного уравнения Бесселя первого порядка вида:

$x^2\cdot y''+x\cdot y'-(x^2+1)\cdot y=0$


Mathematica 5.1 выдала мне решение

$$y=C_1J_1(-jx)+C_2Y_1(-jx)\text{.}$$

А какое было первоначальное уравнение, с $r$ в качестве независимой переменной?

Что касается комплексных значений аргумента, то переходите с MathCADа на что-нибудь более мощное.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 02:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
716
Южная Корея
to Brukvalub

Да, спасибо. Но как Вы думаете, почему в MathCAD нет возможности использовать комплексный аргумент? Может решения как-то связаны и специально искать от мнимого аргумента решение было бы излишним?


to Someone

Да, решение замечательное! :shock: функции Бесселя комплексного порядка, да ещё и от мнимого аргумента! MathCADу это точно не по зубам. Однако первое уравнение очевидно решается в таком виде:

$y=C_1I_1(x)+C_2K_1(x)$

Эквивалентно ли эта запись той которую привели Вы? Можно ли это проверить в Matematica, тогда будет ясно, что функции связаны через подстановку $-j$ в аргумент? Может это что-то даст потом чтобы уйти от комплексного аргумента.

Цитата:
А какое было первоначальное уравнение, с в качестве независимой переменной?


Пожалуйста:
$x^2 \cdot y''+x \cdot y'-(a \cdot x^2 \cdot j+1) \cdot y=0$

здесь надо понимать $x = r$ - расстояние от центра провода, $y = H\phi$ - угловая составляющая вектора напряженности магнитного поля, $a=\frac\mu\rho\omega$ - вещественная константа

Вообще
Переходить ли мне на другую программу - это отдельная тема, и она не так проста на самом деле (если принять во внимание ещё вопросы легальности использования того или иного софта). А по теме - ну не может такого быть чтобы нельзя было найти решение и построить график в MathCAD! Мне кажется тут надо смотреть какое-нть более удобоваримое представление функций Бесселя 1-го порядка, или разобратся со свойствами функций Бесселя и понять почему такая проблема с комплексным аргументом возникает в MathCAD.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 06:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13478
Москва
powerZ писал(а):
to Brukvalub

Да, спасибо. Но как Вы думаете, почему в MathCAD нет возможности использовать комплексный аргумент? Может решения как-то связаны и специально искать от мнимого аргумента решение было бы излишним?
Нет, я думаю, что это связано с некой убогостью MathCAD, поскольку комплекснозначная функция действительного аргумента - это очень искусственное образование. Более естественно, когда и аргумент - комплексный.

 Профиль  
                  
 
 Всё, я решил!
Сообщение11.10.2007, 06:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
716
Южная Корея
Ура, with little help of my friend, вышедшего сегодня из отпуска, задачу я решил!

Вот краткий отчёт:

1) Поскольку $K_1(x)$ @ $x=0$ обращается в бесконечность, а в силу симметрии задачи имеем первое граничное условие y=0 @ x=0, то коэффициент C2 в общем решении (см предыдущий пост) обязательно должен быть равен нулю. То есть остается только первый член и решение представимо в виде:
$y=C_1 \cdot I_1(x)$

2) Что такое $I_1(x)$? Эта функция выражается через $J_1(x)$:
$I_1(x)= \frac 1 j  \cdot J_1(j \cdot x)$

3) Как теперь представить $J_1(x)$? А вот так (для 1-го порядка):

$J_1(x)=\sum\limits_{m=0}^\infty \frac {(-1)^m} {m!\cdot(m+1)!} \cdot ( \frac x 2 )^{2 \cdot m + 1}$

в качестве предела суммы вместо бесконечности берём некое достаточно большое число (несколько десятков) и вуаля - всё считается, и от комплексного аргумента тоже!

P.S. Спасибо всем за обсуждение, ваш форум мне понравился, особенно весёлый раздел про доказательство теоремы Ферма :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 07:01 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
перемещаю…

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2007, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17192
Москва
powerZ писал(а):
первое уравнение очевидно решается в таком виде:

$y=C_1I_1(x)+C_2K_1(x)$

Эквивалентно ли эта запись той которую привели Вы? Можно ли это проверить в Matematica, тогда будет ясно, что функции связаны через подстановку $-j$ в аргумент?


Должно быть эквивалентно, только произвольные постоянные другие. Но я с функциями Бесселя почти не знаком, не хочется по справочнику разбираться с кучей формул. Ещё могут быть разночтения в определениях функций.

powerZ писал(а):
$x^2\cdot y''+x\cdot y'-(a\cdot x^2\cdot j+1)\cdot y=0$


Та же Mathematica 5.1 даёт

$$y=C_1J_1\left((1-j)x\sqrt{a/2}\right)+C_2Y_1\left((1-j)x\sqrt{a/2}\right)\text{.}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Toucan, maxal, PAV, Karan, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group