функция Бесселя от комплексного аргумента в MathCAD

[powerZ]

Здравствуйте. Разбираюсь тут со скин эффектом в круглом проводе. Собственно, после замены переменных, задача свелась к решению модифицированного уравнения Бесселя первого порядка вида:

$x^2 \cdot y'' + x \cdot y' - (x^2 + 1) \cdot y = 0$

MathCAD имеет встроенные функции решения уравнения Бесселя, но понимает только вещественный аргумент. А у меня x - комплексное, причем такого специфического вида:

$x = r \sqrt{\alpha} \cdot e ^{j \cdot \pi / 4 } $

Таким образом имеем вещественный множитель (alfa - вещественное, r - собственно мой изначальный аргумент) и комплексный множитель (число с фазой 45 градусов).

Вопрос как записать решение, чтобы было удобоваримо в MathCAD? Комплексный аргумент встроенные функции J,Y,I,K отвергают, но может быть есть какое нибудь готовое решение (хотелость бы в виде простых функций) для данного случая?

[Brukvalub]

powerZ писал(а):

Вопрос как записать решение, чтобы было удобоваримо в MathCAD? Комплексный аргумент встроенные функции J,Y,I,K отвергают

А замена переменной, смещающая фазу в 0, не поможет?

[powerZ]

Наверное помогло бы, но при условии что уравнение при этом не изменится. Но как это сделать? Собственно я целенаправленно приводил уравнения к виду Бесселя, поскольку наслышан, что задача решается именно через функции Бесселя. В литературе видел решения для плотности тока, что несколько упрощает задачу. Но я пошел другим путём и получил решение для напряженности магнитного поля (т.к. граничные условия для этого случая точно известны). Может в случае удачной замены переменных уравнение преобразуется в какоё-нибудь другой известный вид?

[powerZ]

Я не очень знаком со свойствами функций Бесселя, в частности не знаю, может ли вообще там быть комплексный аргумент. Но я тут немного подумал, и решил, что можно записать и так, чтобы был вещественный аргумент. Тогда решать придется вот что:

$x^2 \cdot y'' + \frac {1} {j} \cdot x \cdot y' - (x^2 + \frac {1} {j}) \cdot y = 0$

Но это уже не уравнение Бесселя? Как бы найти решение?

[Brukvalub]

А если теперь в уравнении разделить вещественную и мнимую части (я предполагаю, что Вы ищете вещественнозначное решение)?

[powerZ]

Цитата:

я предполагаю, что Вы ищете вещественнозначное решение

Нет, решение как раз - в комплексной области. Вот аргументом изначально выступает вещественное число (расстояние от центра провода). То есть $y$ - комплексное число, $x$ - вещественное (в последнем уравнении). В первом - оба комплексные.

Цитата:

А если теперь в уравнении разделить вещественную и мнимую части

Что Вы имеете в виду под таким разделением? Представить $y$ в виде комплексного числа, и разложить левую часть по действительной и мнимой составляющей?

Ну хорошо попробую: $y=y1+j \cdot y2$
Тогда, если ничего не напутал, решать придется систему из двух уравнений:
$x^2 \cdot y1'' + x \cdot y2' - x^2 \cdot y1 - y2 = 0 $ (для действ. сост.)
$x^2 \cdot y2'' - x \cdot y1' + y1 - x^2 \cdot y2 = 0 $ (для мнимой)

Всё ещё сложнее стало

[Brukvalub]

powerZ писал(а):

Что Вы имеете в виду под таким разделением? Представить y в виде комплексного числа, и разложить левую часть по действительной и мнимой составляющей?

Да, но эта мысль касалась вещественных решений, а Вы, как выяснилось, ищете комплекснозначные, а тогда такое разделение приводит к довольно сложной системе диф. уравнений....

[powerZ]

Да, я уже и сам это понял . Всё же интересно было бы узнать - может ли функция Бесселя иметь комплексный аргумент или это особенность MathCADa, что он понимает только вещественный?

[Brukvalub]

powerZ писал(а):

может ли функция Бесселя иметь комплексный аргумент

На этот-то вопрос ответить нетрудно: берем любой справочник по спецфункциям и узнаем, что, конечно - так может быть!
(см. Олвер Ф. — Асимптотика и специальные функции , Кузнецов Д.С. — Специальные функции , Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. — Специальные функции: Формулы, графики, таблицы и т.д.)

[Someone]

powerZ писал(а):

$x^2\cdot y''+\frac 1j\cdot x\cdot y'-(x^2+\frac 1j)\cdot y=0$

Mathematica 5.1 выдала мне решение

$$y=x^{\frac{1+j}2}\left(C_1J_{\frac{1+j}2}(-jx)+C_2Y_{\frac{1+j}2}(-jx)\right)\text{.}$$

powerZ писал(а):

Здравствуйте. Разбираюсь тут со скин эффектом в круглом проводе. Собственно, после замены переменных, задача свелась к решению модифицированного уравнения Бесселя первого порядка вида:

$x^2\cdot y''+x\cdot y'-(x^2+1)\cdot y=0$

Mathematica 5.1 выдала мне решение

$$y=C_1J_1(-jx)+C_2Y_1(-jx)\text{.}$$

А какое было первоначальное уравнение, с $r$ в качестве независимой переменной?

Что касается комплексных значений аргумента, то переходите с MathCADа на что-нибудь более мощное.

[powerZ]

to Brukvalub

Да, спасибо. Но как Вы думаете, почему в MathCAD нет возможности использовать комплексный аргумент? Может решения как-то связаны и специально искать от мнимого аргумента решение было бы излишним?


to Someone

Да, решение замечательное! функции Бесселя комплексного порядка, да ещё и от мнимого аргумента! MathCADу это точно не по зубам. Однако первое уравнение очевидно решается в таком виде:

$y=C_1I_1(x)+C_2K_1(x)$

Эквивалентно ли эта запись той которую привели Вы? Можно ли это проверить в Matematica, тогда будет ясно, что функции связаны через подстановку $-j$ в аргумент? Может это что-то даст потом чтобы уйти от комплексного аргумента.

Цитата:

А какое было первоначальное уравнение, с в качестве независимой переменной?

Пожалуйста:
$x^2 \cdot y''+x \cdot y'-(a \cdot x^2 \cdot j+1) \cdot y=0$

здесь надо понимать $x = r$ - расстояние от центра провода, $y = H\phi$ - угловая составляющая вектора напряженности магнитного поля, $a=\frac\mu\rho\omega$ - вещественная константа

Вообще
Переходить ли мне на другую программу - это отдельная тема, и она не так проста на самом деле (если принять во внимание ещё вопросы легальности использования того или иного софта). А по теме - ну не может такого быть чтобы нельзя было найти решение и построить график в MathCAD! Мне кажется тут надо смотреть какое-нть более удобоваримое представление функций Бесселя 1-го порядка, или разобратся со свойствами функций Бесселя и понять почему такая проблема с комплексным аргументом возникает в MathCAD.

[Brukvalub]

powerZ писал(а):

to Brukvalub

Да, спасибо. Но как Вы думаете, почему в MathCAD нет возможности использовать комплексный аргумент? Может решения как-то связаны и специально искать от мнимого аргумента решение было бы излишним?

Нет, я думаю, что это связано с некой убогостью MathCAD, поскольку комплекснозначная функция действительного аргумента - это очень искусственное образование. Более естественно, когда и аргумент - комплексный.

[powerZ]

Ура, with little help of my friend, вышедшего сегодня из отпуска, задачу я решил!

Вот краткий отчёт:

1) Поскольку $K_1(x)$ @ $x=0$ обращается в бесконечность, а в силу симметрии задачи имеем первое граничное условие y=0 @ x=0, то коэффициент C2 в общем решении (см предыдущий пост) обязательно должен быть равен нулю. То есть остается только первый член и решение представимо в виде:
$y=C_1 \cdot I_1(x)$

2) Что такое $I_1(x)$? Эта функция выражается через $J_1(x)$:
$I_1(x)= \frac 1 j \cdot J_1(j \cdot x)$

3) Как теперь представить $J_1(x)$? А вот так (для 1-го порядка):

$J_1(x)=\sum\limits_{m=0}^\infty \frac {(-1)^m} {m!\cdot(m+1)!} \cdot ( \frac x 2 )^{2 \cdot m + 1}$

в качестве предела суммы вместо бесконечности берём некое достаточно большое число (несколько десятков) и вуаля - всё считается, и от комплексного аргумента тоже!

P.S. Спасибо всем за обсуждение, ваш форум мне понравился, особенно весёлый раздел про доказательство теоремы Ферма

[нг]

перемещаю…

[Someone]

powerZ писал(а):

первое уравнение очевидно решается в таком виде:

$y=C_1I_1(x)+C_2K_1(x)$

Эквивалентно ли эта запись той которую привели Вы? Можно ли это проверить в Matematica, тогда будет ясно, что функции связаны через подстановку $-j$ в аргумент?

Должно быть эквивалентно, только произвольные постоянные другие. Но я с функциями Бесселя почти не знаком, не хочется по справочнику разбираться с кучей формул. Ещё могут быть разночтения в определениях функций.

powerZ писал(а):

$x^2\cdot y''+x\cdot y'-(a\cdot x^2\cdot j+1)\cdot y=0$

Та же Mathematica 5.1 даёт

$$y=C_1J_1\left((1-j)x\sqrt{a/2}\right)+C_2Y_1\left((1-j)x\sqrt{a/2}\right)\text{.}$$