2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Неравенство с параметром
Сообщение03.03.2015, 16:23 


29/05/12
236
Всем добрый день!
Есть неравенство:

$\frac{a-(a^2-2a-3)\cos{x}+4}{\sin^2{x}+a^2+1}<1$

Требуется найти все $a$, при которых множество решений содержит отрезок $\left [ -\frac{\pi }{3}; \frac{\pi}{2}\right ]$

Довел до:
$\cos^2{x}-(a+1)(a-3)\cos{x}-(a+1)(a+2)<0$

При попытке решить данное неравенство относительно $\cos{x}$ получаются "нехорошие" корни.
В чем ошибка?
Заранее признателен Вам за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение03.03.2015, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
(в сторону) Ёлки, да кто же это придумывает такое уродство.
Значит, не надо решать относительно $\cos{x}$. Вы же знаете его граничные значения. Вот подставьте их (тут есть хитрость, но это потом) и решайте относительно $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение03.03.2015, 16:54 


29/05/12
236
Хорошо, подставлю обе границы, в итоге будет два неравенства, которые дадут свои решения. А как же учесть вместимость указанного отрезка в решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение03.03.2015, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
А тут уж рисовать области надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение03.03.2015, 17:13 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
kda_ximik в сообщении #985133 писал(а):
А как же учесть вместимость указанного отрезка в решение?

У Вас согласно неравенству косинус или меньше чего-то, или больше чего-то. В одном из этих случаев требуемый отрезок ну никак не может входить в решение, а в другом вот как раз и достаточно подставить.

Ну и отдельно рассмотреть случай, когда никакого косинуса вообще не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение03.03.2015, 17:15 
Заслуженный участник


12/09/10
1502
Мне кажется, что все-таки лучше сделать замену $t= \cos x$
Тогда условие задачи можно сформулировать как
Парабола <...> на отрезке <...> расположена ниже оси абсцисс. Которое очень просто формализуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение04.03.2015, 10:36 


29/05/12
236
ошибка закралась в свободном члене неравенства:

$\cos^2{x}-(a^2-2a-3)\cos{x}-(a^2-a-2)<0$

Значения косинуса на границах: $\cos{(-\frac{\pi}{3})}=\frac{1}{2},  \cos{\frac{\pi}{2}}=0$
Теперь рассматриваем неравенство относительно косинуса и новый отрезок от $0$ до $\frac{1}{2}$
Для того, чтобы данный отрезок уместился целиком в решения неравенства, значения функции в точках $0$ и $\frac{1}{2}$ должны быть меньше нуля (с учетом, что ветви параболы смотрят вверх). Получаем систему двух неравенств:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &\frac{1}{4}-(a^2-2a-3)\frac{1}{2}-(a^2-a-2)<0& \\
 &0^2-(a^2-2-a-3)0-(a^2-a-2)<0& \\
\end{array}
\right.$$
После упрощения все выглядит так:

$6a^2-8a-15>0$

$a^2-a-2>0$

мое решение: $x\in(-\infty,\frac{4-\sqrt{106}}{6})\cup(\frac{4+\sqrt{106}}{6}, +\infty)$

в ответе: $x\in(-\infty,\frac{3-\sqrt{57}}{4})\cup(\frac{3+\sqrt{57}}{4}, +\infty)$ :facepalm:

Если у кого будет свободное время и терпение, проверьте, пожалуйста!!! Буду очень благодарен Вам!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение04.03.2015, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
А вот тут время задуматься, что такое граничные значения косинуса. Вы говорите, что это $0$ и $\frac12$. Хорошо. А какой отрезок у нас пробегают иксы, как сказано в условии? Нет ли там одной такой точки 0, например? Чему в ней равен косинус, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение04.03.2015, 11:01 


29/05/12
236
На единичной окружности косинус отвечает за абсциссу.

-- 04.03.2015, 12:04 --

Косинус заключен в пределах от $-1$ до $1$.
ИСН, Вы к этому ведете рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение04.03.2015, 11:16 
Заслуженный участник


12/09/10
1502
kda_ximik в сообщении #985450 писал(а):
Косинус заключен в пределах от $-1$ до $1$.

Весь косинус - да. Но нас просят не весь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение05.03.2015, 10:23 


29/05/12
236
А зачем в данном случае говорить о значениях косинуса? Ведь мы уже перешли к новой переменной, рассматриваемый отрезок превратился в $[0, \frac{1}{2}]$. Теперь задача формулируется так:

При каких $a$ множество решений неравенства
$t^2-(a^2-2a-3)t-(a^2-a-2)<0$
содержит $[0, \frac{1}{2}]$

Ведь так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение05.03.2015, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Так, только отрезок не этот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение05.03.2015, 11:10 


29/05/12
236
я докадывался, что с отрезком что-то не так, т.к. по условию отрезок от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{2}$, а косинусы этих углов равны $\frac{1}{2}$ и $0$ соответственно. Тогда и отрезок получается от $\frac{1}{2}$ до $0$, и отрезок превращается в "от 1/2 до 0"

Как тогда правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение05.03.2015, 11:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Отрезок получается из всех значений, которые принимает косинус, когда икс пробегает от $-\frac\pi3$ до $\frac\pi2$. Какие это значения? Верно ли, что это числа от $0$ до $1\over2$, все они и только они?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с параметром
Сообщение05.03.2015, 11:23 


29/05/12
236
а может, все дело в четности косинуса, и появится отрезок от $-\frac{1}{2}$ до $0$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group