Оценка асимптотики

[demolishka]

Нужно показать, что $e^{-1}(1+t^{-1})^t = 1 - \frac12 t^{-1} + O(t^{-2})$ при $t \geq 1$.

Из формулы Тейлора для точки $+\infty$ имеем
$\ln{(1+t^{-1})} = t^{-1} - \frac12 t^{-2} + O(t^{-3}).$
$e^{-\frac12 t^{-1}} = 1 - \frac12 t^{-1} + O(t^{-2}).$
$e^{O(t^{-2})} = 1 + O(t^{-2}).$

Тогда $(1+t^{-1})^t = e^{t\ln{\left(1+t^{-1}\right)}} = e^{1 - \frac12 t^{-1} +O(t^{-2})} = e \left(1 - \frac12 t^{-1} + O(t^{-2})\right).$

Верны ли выкладки? И можно ли сделать это быстрее?

[ex-math]

Верно.
Куда уж быстрее.