2 вопроса по квантовой механике

[Kirill_Sal]

Здравствуйте!
В книге ЛЛ я не очень понял две задачи, которые привожу ниже. Буду благодарен, если кто-нибудь поможет мне разобраться.
1) в параграфе 16 гл.II говорится о том, что волновая функция вида $(\sqrt{2\pi}dx)^{-1/2}\exp(ip_{0}x/h - x^2/4(dx)^2)$, где $dx$ - среднее квадратичное отклонение координаты и $p_{0}$ - константа, минимизирует соотношение неопределенностей для координат и импульса. Нигде в книге это не выводится. Является ли это гениальной догадкой, в которой просто нужно убедиться, или это можно так или иначе вывести из каких-то общих соображений?
2) почему все-таки для потенциалов вида $U(r)=-r^{-s}$, где $s>2$ происходит "падение" частицы на центр"? У меня возникает логическая несостыковка: следуя ЛЛ изначально мы говорим о том, что рассматривается задача с волновой функцией, отличной от нуля только в малой области вокруг начала координат; далее с помощью с.н. показываем, что среднее значение энергии может в этом случае принимать сколь угодно малые значения; затем "падение" объясняем тем, что уровню энергии с большим $|E|$ соответствует движение частицы в малой области пространства вокруг начала координат. Как из данного частного случая следует общий вывод о падении частицы на центр в таких полях?
Физически, конечно, "падение на центр" кажется логичным для случая $s>2$. Но мне хотелось бы более четко понять приведенное формальное объяснение, в котором я по всей видимости полностью запутался.

[arseniiv]

Kirill_Sal в сообщении #983903 писал(а):

Является ли это гениальной догадкой, в которой просто нужно убедиться, или это можно так или иначе вывести из каких-то общих соображений?

Напоминает плотность нормального распределения, умноженную на плоскую волну (если только делится там не на $h$, а $\hbar$, т. к. $p = \hbar k$). Вид плотности нормального распределения тоже выводи́м, если оно там причастно.

-- Вс мар 01, 2015 05:43:01 --

А там точно 4, а не 2?

[Kirill_Sal]

Да, там $h/2\pi$ должно было быть. Это действительно нормальное распределению умножить на плоскую волну. Вопрос, почему именно эта формула минимизирует соотношение неопределенностей. Понятно, что нормальное распределение мы выводить умеем, вопрос именно в причастности.
В знаменателе под экспонентой точно 4.

[arseniiv]

Возможно, эта поправка как-то объясняется, я больше ничего не знаю (и почему именно нормальное, тоже только смутное ощущение). Тогда подождите ещё немного.

-- Вс мар 01, 2015 05:54:24 --

Что-то такое смутное о том, что Фурье от гауссианы — тоже гауссиана, и должна быть волшебная гауссиана, переходящая в себя, т. к. чем уже, тем шире.

[Red_Herring]

1) Выпишите соотношение неопределенностей, как неравенство. Подставьте в него "гауссову пучок" (ну, ту самую функцию) и убедитесь, что там будет равенство. Можно доказать, что равенство будет только для гауссовых пучков: рассмотрим условный экстремум (минимум) $\|u'\|^2$ при условиях $\|u\|^2=1$ и $\|x u\|^2=a^2$. Получим ОДУ решением которого будут только они (это в размености 1, в высших будет УЧП). -- Не ограничивая общности можно считать что "средние" координата и импульс равны $0$ (просто сдвинемся).

2) Оператор $-\Delta - C r^{-s}$ при $s<2$ хорошо определен (через квадратичные формы) и полуограничен снизу. При $s=2$ это будет лишь при $C\le \frac{1}{4}$, а при $s>2$ — только при $C\le 0$. Даже самосопряженный оператор не определяется автоматически. Ну на физическом уровне строгости: потенциальная яма проваливается вниз быстрее чем она сужается и принцип неопределенности не препятствует падению (в отличие от $s<2$).

[Kirill_Sal]

1) посчитаю. Интересно все-таки придуматт какую-то физическую интерпретацию этого решения, ведь оно достаточно красивое;
2) по правде сказать я не понял как дает решение то, что Вы сказали про операторы. На физическом уровне строгости не понятна формулировка: если принцип неопределенности чему-то не мешает, то это должно произойти с наибольшей вероятностью?
Ведь суть "падения" именно в том, что наиболее вероятной областью является начало координат.

[Red_Herring]

2) ЛЛ написали нечто, что не имеет строгого математического смысла, кроме того, что такие потенциалы—бяка. Гамильтониан по определению д.б. самосопряженным оператором, и самосопряженность в отличие просто от симметричности м.б. трудным аналитическим фактом. Ну в данном случае можно ввести симметрический оператор и расширить до самосопряженного. Если я понимаю правильно, то физики считают, что система стремится занять наинизший энергетический уровень. А здесь его нет. Спектр (неважно какой) тянется вниз бесконечно (ну и частица "проваливается"). А почему так? Ну как раз потому, что принцип неопределенности не спасает. Вот для потенциалов с $s<2$ спасает (рассуждение нестрогое): "яма более узкая, чем глубокая": $r \cdot r^{-s/2} \ll 1$ при $r\ll 1$. Зато на бесконечности дело обстоит противоположным образом "яма более широкая чем мелкая" и имеется бесконечно много отрицательных энергетических уровней накапливающихся к $0$. А при $s>2$ все наоборот: вблизи $0$ "яма более глубокая чем узкая", зато на бесконечности все наоборот и если мы возьмем потенциал, скажем $(r^2+1)^{-s/2}$ (чтобы в $0$ пакостей не было), то отрицательных энергетических уровней будет конечное число.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #983930 писал(а):

ЛЛ написали нечто, что не имеет строгого математического смысла, кроме того, что такие потенциалы—бяка.

Кроме того, есть классическое (не квантовомеханическое) свойство таких потенциалов, состоящее в том, что они бяка.

На эту тему советую в хорошей книжке
Медведев. Начала теоретической физики.
посмотреть параграф I.10 "Движение в центральном поле". У ЛЛ-1 это не рассмотрено так широко, подробно и полно. А сведения азбучные, обязательные для любого теорфизика.

Red_Herring в сообщении #983930 писал(а):

Если я понимаю правильно, то физики считают, что система стремится занять наинизший энергетический уровень.

Это довольно важный момент, поэтому немного поясню.

Есть природа, которую мы хотим описать, и есть формальные математические модели, которыми мы её описываем. Модели есть разной степени точности: например, какая-то довольно простая модель может рассматривать Землю как ровный шар, без гор и морей, без эллиптичности и приливов, и т. п. И такая модель устраивает нас для описания одних явлений, а для других - нужна более точная модель. (Хорошо, когда она у физиков в запасе есть, и плохо, когда нет.)

Знакомство с квантовой физикой (которая - название области физических явлений в природе) начинается с модели, которая называется квантовая механика. Это модель самая простая, и в то же время воспроизводящая очень много явлений и их свойств, из простейшего набора опытов с квантовыми явлениями. Но она воспроизводит не все свойства. Для некоторых свойств и явлений требуется более сложная и развитая модель - квантовая электродинамика (ещё её называют квантовая теория поля, это более частное и более общее название, а здесь они взаимозаменяемы). Чтобы изучить квантовую электродинамику, нужно сначала знать всю квантовую механику, потому что КЭД уточняет КМ, опираясь на неё как на основу. Даже математические понятия КЭД - это усложнение от математических понятий КМ.

Итак:

В квантовой механике система, такая как атом, описывается набором стационарных состояний - точных энергетических уровней. Эти уровни стационарны в точном смысле: если систему поместить на такой уровень, то она будет вечно находиться на этом уровне. Это описание - неправда, реальные системы себя так не ведут. Реальные системы всегда падают на низший уровень (ground state, основное состояние). Но это описание - начальное приближение к правде. Оно позволяет рассмотреть многие квантовые явления на промежутке времени, который достаточно короткий по сравнению с этим временем падения на низший уровень.

В квантовой электродинамике система, такая как атом, оказывается незамкнутой. Это уже не просто электрон в потенциале, а это электрон, связанный с квантованным электромагнитным полем, а значит, он может излучать и поглощать фотоны, переходя с уровня на уровень. (Полной замкнутой системой будет атом + бесконечное электромагнитное поле Вселенной.) Вот тут уже можно получить более правдивую картину реальной системы. Электрон всегда будет стремиться упасть на низший уровень, потому что он может сделать это с какой-то вероятностью - а обратно не поднимется, потому что фотон улетит от атома навечно в бесконечные дали. КЭД позволяет рассчитать скорость такого излучения. Поскольку это излучение происходит за конечное время, то возбуждённые состояния оказываются не точными энергетическими уровнями: они размыты по энергии на ширину $\Gamma=1/\tau,$ где $\tau$ - время жизни возбуждённого состояния. Зато низшее состояние оказывается точным: оно ни на что не распадается.

Во многих книгах по КМ этого всего не упоминается, и очень жаль. Получается раздвоение: сначала человеку говорят про одно (в реальных опытах в атомной физике), а потом про противоположное (в математической модели КМ, которая не описывает этого свойства реальности). И так всё и оставляют, чаще всего, потому что КЭД рассказывают намного меньшему количеству студентов, чем КМ. В частности, ЛЛ-2 страдает именно этой проблемой. Зато есть хорошая книга
Мессиа. Квантовая механика.
где в конце 2-го тома рассказано в виде краткого экскурса именно об этих уточнениях простой картины. Ну и разумеется, есть многочисленные учебники по КЭД и КТП.

[Kirill_Sal]

Ваша дискуссия интересная, но уходит от поставленных мной вопросов.
Плохое классическое свойство этих потенциалов заключается в том, что частицы могут сблизиться на почти нулевое расстояние друг от друга, на котором потенциалы становятся бесконечными. Что происходит в квантовой? Речь идет просто о возможности "падения" или под "падением" все-таки понимается то, что наиболее вероятным состоянием частицы будет нахождение в области вокруг начала коордигат? Это ведь существенно разные вещи. Если в ЛЛ говорится только о возможности, то вопрос я снимаю: на него ответить не сложно. Я был уверен, что в книге речь шла о наиболее вероятном состоянии.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #984088 писал(а):

Речь идет просто о возможности "падения" или под "падением" все-таки понимается то, что наиболее вероятным состоянием частицы будет нахождение в области вокруг начала коордигат? Это ведь существенно разные вещи.

И ни та, ни другая не имеет отношения к квантовой механике. В квантовой механике вообще нет никаких "падений". Есть стационарные состояния - уровни.

Kirill_Sal в сообщении #984088 писал(а):

Я был уверен, что в книге речь шла о наиболее вероятном состоянии.

Квантовая механика не накладывает на разные состояния разных вероятностей нахождения в них.

[Kirill_Sal]

Это по всей видимости означает, что я пока абсолютно не понимаю квантовую механику. В чем тогда смысл ввода "нормального" или "основного" состояния?

[Red_Herring]

Основное состояние: состояние с наинизшей энергией. В "классической" квантовой механике все собственные состояния стабильны, но это не так ни в КТП, ни в жизни. Только основное стабильно, остальные нет. Вот не вполне трезвый гражданин ищет себе места в комнате: на полу он будет лежать вечно, но если залезет на стол, комод, шкаф—полежит и свалится.

Так вот, в атоме с любым потенциалом $-r^{-s}$ с $s<2$ пол есть. А в "атоме" с потенциалом $-r^{-s}$ с $s>2$ пола нет. Есть бездонная яма. И бездонная это не значит "очень глубокая", это—без дна. Только падать в неё Вы будете очень быстро (никакой вечности).

Теперь насчет классики. При нашем ньютоновском тяготении чтобы полететь на Солнце нужно погасить угловой момент. Потому что эффективный потенциал (если из уравнений исключить угловое движение) будет $-\frac{M}{r^{s}}+ \frac{J^2}{2r^2}$, где $J$ угловой момент. Т.е. вблизи Солца он отталкивает при $s<2$. А при $s>2$ он притягивает все равно. Не надо было бы лететь на Солнце—Вы с Землей и всеми прочими планетами на него давно бы свалились!

[Kirill_Sal]

Кажется, я путаюсь в основах. Допустим мы имеем систему в поле "плохого" потенциала и в состояние с определенной волновой функцией $f_{n}$. Означает ли "падение" на центр то, что квадрат $f_{n}$ будет заметно отличен от нуля только в области вокруг начала координат?

[Red_Herring]

Kirill_Sal в сообщении #984135 писал(а):

Кажется, я путаюсь в основах. Допустим мы имеем систему в поле "плохого" потенциала и в состояние с определенной волновой функцией $f_{n}$. Означает ли "падение" на центр то, что квадрат $f_{n}$ будет заметно отличен от нуля только в области вокруг начала координат?

Нет, это означает что само определение квантового гамильтониана сталкивается с серьезными математическими трудностями. Вы пытаетесь выяснить, сколько чертей можно разместить на острие вибраниумовой иглы.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #984135 писал(а):

Допустим мы имеем систему в поле "плохого" потенциала и в состояние с определенной волновой функцией $f_{n}$. Означает ли "падение" на центр то, что квадрат $f_{n}$ будет заметно отличен от нуля только в области вокруг начала координат?

"Падение на центр" означает переход из одного состояния $f_n$ в другое $f_{n'},$ пока не будет достигнуто $E\to-\infty.$ А об одном конкретном состоянии $f_n$ оно вообще ничего не говорит.