Задача об усреднении тензора в ЛЛ "Квантовая механика"

[10110111]

В книге Ландау и Лифшица "Квантовая механика. Нерелятивистская теория" в $\S29$ даётся задача:

Цитата:

Усреднить тензор $n_in_k-\frac13\delta_{ik}$ (где $\mathbf n$ — единичный вектор в направлении радиуса-вектора частицы) по состоянию с заданной абсолютной величиной вектора $\mathbf l$, но не его направлением (т.е. неопределённым $l_z$).

Далее они предлагают решение, начало которого выглядит так:

Цитата:

Искомое среднее значение есть оператор, который может выражаться лишь через оператор $\hat{\mathbf l}$. Ищем его в виде

$$\overline{n_in_k}-\frac13\delta_{ik}=a[\hat l_i\hat l_k+\hat l_k\hat l_i-\frac23\delta_{ik}l(l+1)];$$

это есть наиболее общий вид составленного из компонент $\hat{\mathbf l}$ симметричного тензора второго ранга с равным нулю следом. Для определения постоянной $a$ <...>

Сначала мне было непонятно, как средним значением физической величины мог оказаться оператор, но из этого ответа на Phys.SE я понял, что в задаче подразумевается не тензор как физическая величина, а оператор тензора, т.е. под $\mathbf n$ подразумевается оператор $\hat{\mathbf n}$, а под $\delta_{ik}$ подразумевается оператор $\delta_{ik}\hat{\mathbf 1}$, где $\hat{\mathbf 1}$ — единичный оператор. Тогда что-то начало проясняться, но тогда по чему предполагается именно усреднять? Если верить ответу на Phys.SE, то предполагается усреднение по радиальному направлению. Я так понял, что на самом деле Qmechanic имел в виду усреднение по радиальным квантовым числам, т.е. в случае атома водорода — по главному квантовому числу.
Странным показалось, однако, что когда я попытался посмотреть, как зависят матричные элементы

$$\langle nlm|\left(\hat{n}_i \hat{n}_k-\frac{1}{3}\delta_{ik}\hat{\bf 1}\right)|nlm'\rangle$$

в зависимости от $n$, они все оказались равными (при одних и тех же $l,m,m'$ и разных $n$), и совпадающими с матричными элементами оператора, найденного в решении задачи авторами.

Соответственно, непонятно: а в каких случаях это действительно является нетривиальным усреднением, т.е. не усреднением константы?

И ещё вопрос: а если бы исходно $\mathbf n$ было не нормированным радиус-вектором, а нормированным импульсом — ответ был бы таким же с точностью до коэффициента $a$? Ведь ЛЛ получают его почти полностью (с точностью до $a$) из факта тензорности и нулёвости его следа.

И ещё: как можно этот результат получить, не зная заранее, как должен выглядеть оператор симметричного тензора второго ранга с равным нулю следом (мне его форма вовсе не очевидна)?