Плоскость и цилиндр

[PSP]

Известно, что прямую на некоторой плоскости можно получить как экстремум некоторого функционала, решая соответствующие уравнения Лагранжа-Эйлера.
Известно, что если плоскость свернуть в цилиндр, то эта прямая преобразуется в обыкновенную винтовую линию.

1.Как можно аналитически записать такую процедуру сворачивания?
2.Во что преобразуется при такой процедуре функционал и соответствующие уравнения Лагранжа-Эйлера?

[PSP]

Мне кажется, тут есть какая-то связь с понятием эвольвенты, но только в пространстве..

[PSP]

Обыкновенные винтовые линии.
Это единственные пространственные кривые с постоянной кривизной k и кручением \chi.Их замечательное свойство состоит в том, что только эти линии могут, не меняя формы. скользить сами по себе. Частный их случай-прямые и окружности.
Если l-длина , а \alpha-угол наклона линии, то в случае, когда поступательное движение будет по направлению оси z , тогда уравнение винтовой линии будет иметь вид:

$$x=\frac {\sin^2( \alpha)} {k} sin \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$y=- \frac {\sin^2( \alpha)} {k} cos \left( \frac{kl} {\sin( \alpha) } \right)$$

$$z = l \cos( \alpha) $$

Мне кажется, что в винтовую линию сворачиванием в цилинтр должны преобразоваться вот такие прямые(в параметрическом виде):

$$x= \frac{kl} {\sin( \alpha) } $$

$$y=- \frac{kl} {\sin( \alpha) } $$

$$z = l \cos( \alpha) $$

Или я ошибаюсь?

[PSP]

И ещё.ОВЛ являются геодезическими на цилиндре.Никак не найду конкретного уравнения геодезических на цилиндре.
Вроде есть в книге Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1962.
У меня её нет, даже в эл.виде.Может, у кого есть? Или кто знает уравнения геодезических на цилиндре?

[Brukvalub]

Вроде, цилиндр без искажений метрики "раскатывается" на плоскость, поэтому геодезические на цилиндре суть образы обратного "закатывания" геодезических плоскости на цилиндр

[Алексей К.]

PSP писал(а):

Или кто знает уравнения геодезических на цилиндре?

Я знаю.
Это прямые, окружности и винтовые линии. Если Вы сделает поиск по форуму за последнюю неделю --- найдёте кучу уравнений в разных видах. Эта тема в последнее время много обсуждалась ...