Теорема в линейной алгебре

[Fichtenholz]

Не получается доказать небольшую теорему:

Дана квадратная однородная система уравнений порядка n.
Если всякое нетривиальное решение системы не содержит ни одного нуля, то любой минор порядке меньше, чем n, отличен от нуля.
То есть, если решение это ($\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots \alpha_{n}$), и ни одно число не равно нулю.

Как подступиться? Я думал пойти от противного:
Пусть минор порядка k, $ 1 \leqslant k < n$ равен нулю. Покажем, что решение содержит хотя бы один ноль.

И всё, я сдулся. Не могу больше ничего придумать, как подступиться. Как вообще связано решение с минорами матрицы.

[patzer2097]

Fichtenholz в сообщении #983026 писал(а):

Дана квадратная однородная система уравнений порядка n.
Если всякое нетривиальное решение системы не содержит ни одного нуля, то любой минор порядке меньше, чем n, отличен от нуля.

В таком виде утверждение не имеет ничего общего с реальностью; исправьте как-то условие.

[Fichtenholz]

patzer2097 в сообщении #983035 писал(а):

Fichtenholz в сообщении #983026 писал(а):

Дана квадратная однородная система уравнений порядка n.
Если всякое нетривиальное решение системы не содержит ни одного нуля, то любой минор порядке меньше, чем n, отличен от нуля.

В таком виде утверждение не имеет ничего общего с реальностью; исправьте как-то условие.

Если дословно:
Решение $ (\alpha_{1}, \alpha_{1}, \dots, \alpha_{n}) $ однородной системы порядка n называется допустимым, если $\alpha_{i} \ne 0$ для всех $i = 1, 2, \dots, n$.
Пусть всякое нетривиальное решение системы допустимо. Тогда любой минор матрицы порядка меньше, чем n, отличен от нуля.

[patzer2097]

Вы опять переписали то же самое и даже не попробовали задуматься о том, что не так.

[Fichtenholz]

patzer2097 в сообщении #983041 писал(а):

:twisted: Вы опять переписали то же самое и даже не попробовали задуматься о том, что не так.

Тогда честно, не понимаю, в чём дело. Если теорема неверна, то тоже нужно доказательство.

[svv]

Fichtenholz
(пока Вы будете уточнять)
Как Вы думаете, какой может быть размерность пространства решений? Может она быть хотя бы $2$? (От противного: что можно построить из двух линейно независимых нетривиальных решений?)

[patzer2097]

Fichtenholz в сообщении #983043 писал(а):

Если теорема неверна, то тоже нужно доказательство.

и пока Вы не приложили ни одного видимого усилия к его получению

[svv]

Fichtenholz
Теорема, в том виде, как Вы сформулировали, неверна. И неверное место — это не просто какая-то небрежность, которую надо чуть-чуть уточнить. Там очень сильно неправильно сказано.

Но с некоторыми (принципиальными!) исправлениями теорема верна. Она хочет не контрпримера, не опровержения. Она хочет исправления.

А контрпример — это пожалуйста.
$\begin{bmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$
Эта система сводится к $x_1=x_2=x_3=x_4$, и любое решение имеет вид $c(1,1,1,1)$, т.е. условия выполнены. Но Вы видите, что матрица кишит нулями, как Нил крокодилами? Я Вам тут найду нулевой минор любого порядка.

И всё же теорема хороша. Исправленная.

patzer2097, простите.