2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гомоморфизмы колец
Сообщение26.02.2015, 18:23 


14/01/14
85
В нескольких учебниках сравнил определения гомоморфизма колец. Гомоморфизм это отображение между кольцами $R$ и $S$, выполняющее три условия:
1) $\varphi (a+b)=\varphi (a) + \varphi (b)$ для всех $a, b \in R$
2) $\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b)$ для всех $a, b \in R$
3) $\varphi (1_R) = 1_S$
Разве третье условие не выводится однозначно из первых двух как и то, что ноль переводится в ноль?

$\varphi (1_R)=\varphi (1_{R}^{n}) = \varphi (1_R)^n$ для всех $n \in \mathbb{N}$, следовательно $\varphi (1_R) = 1_S$ и
$\varphi (0_R)=\varphi (n \times 0_R)=n \times \varphi (0_R)$ для всех $n \in \mathbb{N}$, следовательно $\varphi (0_R)=0_S$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизмы колец
Сообщение26.02.2015, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
$\forall x\inR \;\varphi(x)=0_S$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизмы колец
Сообщение26.02.2015, 19:05 


14/01/14
85
Хм. То есть выходит не может быть тривиального отображения колец, такого, что $\operatorname{Ker} \varphi = R$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизмы колец
Сообщение26.02.2015, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Да вообще странное определение, учитывая что кольца могут быть и без единицы. Разве отоброжение, которое привёл Nemiroff нелогично считать гомоморфизмом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизмы колец
Сообщение26.02.2015, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Braga в сообщении #982983 писал(а):
$\varphi (1_R)=\varphi (1_{R}^{n}) = \varphi (1_R)^n$ для всех $n \in \mathbb{N}$, следовательно $\varphi (1_R) = 1_S$
А "следовательно" можете доказать?
Braga в сообщении #983009 писал(а):
То есть выходит не может быть тривиального отображения колец, такого, что $\operatorname{Ker} \varphi = R$?
Дело не только в тривиальном отображении. При этом может или не может — это вопрос договорённости. По определению, данному вами, не может (если только кольцо $S$ не состоит из одного элемента).

-- Чт фев 26, 2015 19:12:00 --

kp9r4d в сообщении #983010 писал(а):
Да вообще странное определение, учитывая что кольца могут быть и без единицы.
Кольцами разные авторы называют разные вещи. В западной литературе принято (насколько я понимаю) считать кольцом (элементом категории $\mathrm{Ring}$) только то, что содержит единицу. А не содержащий единицу объект — это псевдокольцо (элемент категории $\mathrm{Rng}$).

-- Чт фев 26, 2015 19:21:56 --

По поводу "не только тривиального".
Идемпотенты и нильпотенты позволяют делать весёлые вещи.
Пусть $a$ идемпотент в коммутативном кольце $R$, то есть $a^2=a$.
Вот морфизм $f:R\rightarrow R$, $f(x)=xa$. Это гомоморфизм или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизмы колец
Сообщение26.02.2015, 19:27 


14/01/14
85
Если для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется для некоторого элемента $a=a^n$, то этот элемент - единица.
Но если это не совсем корректно, меня сейчас начало смущать это доказательство, то:
для некоторого $a$ такого, что $\varphi (a) \neq 1_S$, $\varphi (a) \neq 0$
$\varphi (a)=\varphi (a \cdot 1_R)=\varphi (a) \varphi (1_R)$ а отсюда уже точно следует, что единица отображается в единицу. Или скажете, что я уже этим и определил нетривиальность отображения, допустив, что такой элемент существует?

-- 26.02.2015, 20:31 --

ну да, если убрать это третье условие, то доказать в таком отображении с идемпотентным элементом, что единица отображается в единицу - нельзя.

Убедили :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group